一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数 $y=\frac{(x+1)^2}{x}$ 的图形有 $n$ 条渐近线, 则 $n=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^2+y^2\right)=\arctan \frac{y}{x}$ 确定, 且满足 $y(1)=0$, 则 $y^{\prime \prime}(1)=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 20
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right) \quad(x>0)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $g(1)=1, g(3)=7$, 则 $g(2)$ 的值可能为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知可微函数 $f(x, y)$ 满足 $f(t x, t y)=t f(x, y), t>0$, 且 $f_1(1,-2)=4$, 则曲面 $z=$ $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,-2,2)$ 处的切平面方程为
已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{(1-x)^4}$, 则 $f^{(5)}(0)=$
设 $n \geqslant 1$ 为自然数, $f(x)=\left(x^3-1\right)^n(\arctan x)^2$, 则 $f^{(n)}(1)=$
设曲面 $\Sigma: x^2-x y z+\mathrm{e}^{x+z}=1$ 上点 $(0,1,0)$ 处的法向量 $n$ 指向下方, 则函数 $f(x, y, z)$ $=x^2+2 y^2+3 z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿着 $n$ 的方向导数为
设有一底面半径为 $r$, 高为 $h$ 的圆椎型容器, 该容器将圆椎顶点朝下放置. 从装满水的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_1$, 从初始液面高度为 $\frac{h}{3}$ 的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_2$, 则 $\frac{W_1}{W_2}=$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 存在二阶导数，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}\right)=0 .
$$
求 $f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$.
应用三阶泰勒公式求 $\sin 18^{\circ}$ 的近似值, 并估计误差.
设 $f(x)=\frac{x^5}{(1-x)(1+x)}$, 求 $f^{(9)}(0)$.
若曲线 $y=x^2+a x+b$ 与 $2 y=x y^3-1$ 在点 $(1,-1)$ 处相切, 求常数 $a, b$.
设 $f(x)$ 为连续函数, 且满足 $f(x)=x^2-x \cdot f(2)+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$.