高等数学/数学分析/微分方程-数学组卷-自助组卷

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高等数学/数学分析/微分方程

数学

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

z = x e^{2 y}

在点

P (1, 0)

处沿从

P (1, 0)

到

Q (2, - 1)

的方向导数是?

A.

\frac{\sqrt{2}}{5}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

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2. 甲袋中有 4 只红球, 有 6 只白球, 乙袋中有 6 只红球, 10 只白球, 现从两袋中各任取 1 球, 则 2 个球颜色相同的概率是

A.

\frac{6}{40}

B.

\frac{15}{40}

C.

\frac{21}{40}

D.

\frac{19}{40}

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3. 设随机变量

X

服从

N (27, {0.2}^{2})

分布, 则其浙近线在 ________ 处

A.

x = 27

B.

y = 27

C.

y = 0

D.

x = 0

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4. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度,

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上的均匀分布的概率密度, 若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), x \leq 0 \\ b f_{2} (x), x > 0 \end{cases} (a > 0, b > 0)

为随机变量的概率密度, 则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 设

X \sim N (1, 1)

, 且

Φ (1) = 0.8413

, 则

P {0 < X < 2} =

。

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6. 已知二维随机变量

(X, Y)

的联合分布律: 要使

X 、 Y

相互独立, 则

α, β

的值为

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7. 加油站有两套用来加油的设备, 设备

A

是工作人员操作的, 设备

B

是顾客自己操作的,

A 、 B

均装有两根加油软管, 任取一时间,

A 、 B

正在使用的软管数分别为

X 、 Y, X 、 Y

的联合分布律为下表，求:
(1)

P (X \leq 1, Y \leq 1)

(2) 至少有一根软管在使用的概率
(3)

P (X = Y)

(4)

P {X + Y = 2}

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8. 设

A 、 B

为两个随机事件,

P {A} = 0.25, P {B ∣ A} = 0.5, P {A ∣ B} = 0.25

, 令随机变量

X = {\begin{array}{rrr} 1 & A 发生 \\ 0 & A 不发生 \end{array} Y = {\begin{array}{rr} 1 & B 发生 \\ 0 & B 不发生 \end{array}

(1) 求

(X, Y)

的联合分布律
(2) 求

P {X^{2} + Y^{2} = 1}

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 设随机变量

X

的分布律如下: 求: (1)

X

的分布函数; (2)

P {1 \leq X < 3}

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10. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x & 1 \leq x < 2 \\ 0 & 其他 \end{cases}

求: (1)

X

的分布函数

F (x)

(2) 求

P {1 < X < \frac{3}{2}}

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11. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} \frac{x}{2} & 0 < x < A \\ 0 & 其他 \end{cases}

, 求:
(1) 常数

A

(2) 分布函数

F (x)

(3)

P {- 1 < X < \frac{1}{2}}

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12. 设随机变量

X

的概率密度为

f_{x} (x) = {\begin{cases} 2 e^{- 2 x} & x > 0 \\ 0 & 其他 \end{cases}

, 若

Y = 1 - e^{- 2 X}

, 求

Y

的概率密度

f_{Y} (y)

。

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