高等数学/数学分析/空间解析几何与向量代数-数学组卷-自助组卷

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高等数学/数学分析/空间解析几何与向量代数

数学

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设

z = f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微, 且

lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ y \to 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - f (1, 1) - 2 x - y + 3}{\sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}}} = 0

, 则

z = f (x, y)

在

(1, 1)

点沿

l = {1, 2}

方向的方向导数为

A.

- \frac{4}{\sqrt{5}}

B.

\frac{4}{\sqrt{5}}

C.

-1

D.

1

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2. 设向量组 ( I):

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}

均为 4 维列向量,

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5})

, 若

η_{1} = (- 1, 1, 0, 0, 0)

,

η_{2} = (0, 1, 3, 1, 0), η_{3} = (1, 0, 5, 1, 1)^{T}

是齐次方程组

A X = 0

的一个基础解系, 则向量组 ( I) 的一个极大无关组是

(\begin{array}{l} 。 \end{array}

A.

α_{1}, α_{2}

B.

α_{1}, α_{4}

C.

α_{3}, α_{5}

D.

α_{1}, α_{3}, α_{4}

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3. 原点关于直线

\frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{- 2}

的对称点为

A.

(- 4, 0, 4)

B.

(4, 0, 4)

C.

(- 4, 0, - 4)

D.

(4, 0, - 4)

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4. 点

M (1, 0, - 1)

到直线

L : {\begin{cases} x - y - z + 1 = 0, \\ x + y - 2 z = 0 \end{cases}

的距离为

A.

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}

B.

\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}

C.

\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}

D.

\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 由

x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

表示的立体图形的体积

V =

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6. 设向量

a = (2, 1, 2), \vec{b} = (4, - 1, 10), \vec{c} = \vec{b} - λ \hat{1}

, 且

\vec{a} ⊥ 1 \dot{c}

, 则

λ =

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7. 一质点在变力

F = (1 - x^{2}) y^{3} i - x^{3} (1 + y^{2}) j

的作用下从圆周

L : x^{2} + y^{2} = 1

上的任一点出发沿逆时针方向运动一周, 则变力

F

对质点所做的功等于

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8. 点

M_{0} (2, 2, 2)

关于直线

L : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 4}{2} = z - 3

的对称点

M_{1}

的坐标为

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9. 已知

L : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{0} = \frac{2 z + 1}{λ}

与

π : x - y + z = 0

平行, 则常数

λ

的值为

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10. 设矢量

a, b

满足

| a + b | = | a - b |

, 若

a = (1, 2, 3), b = (1, 4, λ)

, 则

λ =

?

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设

σ

是数域

K

上

n

维线性空间

V

上的线性变换. 如果

σ

的矩阵可以对角化，则对

σ

的任意一个不变子空间

M

，证明:
(1)

{σ |}_{M}

的矩阵也可以对角化.
(2) 存在

σ

的不变子空间

N

，使得

V = M \oplus N

.

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12. 已知

\vec{a} = \vec{i}, \vec{b} = \vec{j} - 2 \vec{k}, \vec{c} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}

, 求一单位向量

\vec{m}

，使

\vec{m} ⊥ \vec{c}

，且

\vec{m}

与

\vec{a}, \vec{b}

共面。

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13. 设

A = {(a_{k j})}_{3 \times 3}

是3阶实方阵,

| A | \neq 0

, 记

D (x) = {(a_{k j} + x)}_{3 \times 3}

及

g (x) = \det D (x)

。（1）试求导数

g^{'} (x)

并证明:

g^{'} (0) = | A | α^{T} (A^{- 1}) α

, 其中向量

α^{T} = (1, 1, 1)

;
(2) 若

A = (\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \end{array})

, 求

g^{'} (0)

。

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14. 设函数

f (x)

连续，

Σ

是球面:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ，且 a, b, c 是常数.

证明:

\iint_{Σ} f (a x + b y + c z) d S = 2 π \int_{- 1}^{1} f (\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} u) d u .

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