一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的基, 则由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵$A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha $, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 3 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B A})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A B}\end{array}\right)=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{B A})$.
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: $\left(\begin{array}{cc}A B & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & B A\end{array}\right)$ 相似.
(2) 证明: $\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 有相同的特征多项式.
线性空间 $E$ 上一个线性变换 $\varphi$ 称为半单的, 如果对 $\varphi$ 的每个不变子空间 $E_1 \subseteq E$, 都存在 $\varphi$ 的不变子空间 $E_2 \subseteq E$, 使得 $E=E_1 \oplus E_2$.
证明: 若 $\varphi$ 是线性空间 $E$ 上的半单变换, $E_1$ 是 $\varphi$ 的一个不变子空间, 则 $\varphi$ 限制在 $E_1$ 上也是 半单的.
向量 $\gamma$ 在 $\alpha_1=[1,0,1]^T, \alpha_2=[0,1,-1]^T, \alpha_3=[1,2,0]^T$ 下的坐标是 $[5,7,-4]^T$, 则 在 $\beta_1=[1,0,1]^T, \beta_2=[-1,1,1]^T, \beta_3=[1,-2,-2]^T$ 下的坐标是
多项式 $f(x)=2 x^4-3 x^3+2 x^2-1$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的标准分解式为
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基, $\alpha_1, \alpha_2 \in V$, 已知 $\left(\varepsilon_1, \alpha_1\right)=1,\left(\varepsilon_1, \alpha_2\right)=-1,\left(\varepsilon_2, \alpha_1\right)=2$, $\left(\varepsilon_2, \alpha_2\right)=1$, 则向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 的夹角为
设向量 $\boldsymbol{\xi}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-3,1,0)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 也可由向量 $\boldsymbol{\beta}_1=(3,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=$ $(2,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\xi}=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\mathbb{R}$ 为实数域, $V$ 是以 0 为极限的实数数列全体, 即
$$
V=\left\{\left\{a_n\right\} \mid a_n \in \mathbb{R}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0\right\}
$$
在 $V$ 中定义加法与数乘运算: $\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}=\left\{a_n+b_n\right\}, k\left\{a_n\right\}=\left\{k a_n\right\}, k \in \mathbb{R}$, 则 $V$ 构成实数域 $\mathbb{R} $上 的线性空间(不需要证明).
请证明: $V$ 是无穷维的线性空间.
已知直线 $L_1=\left\{\begin{array}{l}x+y+z-1=0 \\ x-2 y+2=0\end{array}, L_2=\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=t+a \\ z=b t+1\end{array}\right.\right.$, 试确定 $a, b$ 满足的条件使得 $L_1, L_2$ 是:
1. 平行直线;
2. 异面直线.
设 4 维向量组 $A: \alpha_1=(1,0,2,3)^T, \alpha_2=(1,1,3,5)^T \alpha_3=(1,2,4, a+6)^T$, $\alpha_4=(2,1, b+5,8)^T$ 的秩为 2 ,
(1) 求参数 $a, b$ 的值;
(2) 求 $A$ 的一个最大线性无关组, 并用最大线性无关组表示向量组其余向量.
设 $f(x) \in \mathbb{R}[x]$, 且 $\operatorname{deg} f(x)>1$, 证明: 存在非零多项式 $g(x) \in$ $\mathbb{R}[x]$, 使得 $f(x) \mid g\left(x^8\right)$.
设向量组 $a_1, a_2, a_3$ 线性无关, $b_1=3 a_1+a_2-a_3, b_2=4 a_1+a_2-a_3, b_3=a_2+a_3$, 讨论向量组 $b_1, b_2, b_3$ 的线性相关性。