线性代数/高等代数/行列式-数学组卷-自助组卷

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线性代数/高等代数/行列式

数学

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设平面区域

D

是由

y = x, x = 1

及

x

轴所围成，二重积分

\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d σ

转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?

A.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} 1 d r

B.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} 1 d r

C.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} 1 d r

D.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} 1 d r

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2. 函数

f (x, y)

连续，交换二重积分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x

次序，该二重积分可表示为?

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{3}}^{x} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{4}}^{x} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{5}}^{x} f (x, y) d y

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3. 函数

z = x e^{2 y}

在点

P (1, 0)

处沿从

P (1, 0)

到

Q (2, - 1)

的方向导数是?

A.

\frac{\sqrt{2}}{5}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

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4. 甲袋中有 4 只红球, 有 6 只白球, 乙袋中有 6 只红球, 10 只白球, 现从两袋中各任取 1 球, 则 2 个球颜色相同的概率是

A.

\frac{6}{40}

B.

\frac{15}{40}

C.

\frac{21}{40}

D.

\frac{19}{40}

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5. 设随机变量

X

服从

N (27, {0.2}^{2})

分布, 则其浙近线在 ________ 处

A.

x = 27

B.

y = 27

C.

y = 0

D.

x = 0

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6. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度,

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上的均匀分布的概率密度, 若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), x \leq 0 \\ b f_{2} (x), x > 0 \end{cases} (a > 0, b > 0)

为随机变量的概率密度, 则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 设事件

A 、 B

互不相容, 已知

P (A) = 0.4, P (B) = 0.5

, 则

P (\bar{A} \cdot \bar{B}) =

, 若

A 、 B

独立, 则

P (A \cup B) =

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8. 设

X \sim N (1, 1)

, 且

Φ (1) = 0.8413

, 则

P {0 < X < 2} =

。

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9. 已知二维随机变量

(X, Y)

的联合分布律: 要使

X 、 Y

相互独立, 则

α, β

的值为

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10. 加油站有两套用来加油的设备, 设备

A

是工作人员操作的, 设备

B

是顾客自己操作的,

A 、 B

均装有两根加油软管, 任取一时间,

A 、 B

正在使用的软管数分别为

X 、 Y, X 、 Y

的联合分布律为下表，求:
(1)

P (X \leq 1, Y \leq 1)

(2) 至少有一根软管在使用的概率
(3)

P (X = Y)

(4)

P {X + Y = 2}

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11. 设

A 、 B

为两个随机事件,

P {A} = 0.25, P {B ∣ A} = 0.5, P {A ∣ B} = 0.25

, 令随机变量

X = {\begin{array}{rrr} 1 & A 发生 \\ 0 & A 不发生 \end{array} Y = {\begin{array}{rr} 1 & B 发生 \\ 0 & B 不发生 \end{array}

(1) 求

(X, Y)

的联合分布律
(2) 求

P {X^{2} + Y^{2} = 1}

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 某保险公司把被保险人分为 3 类: “谨傎的”、“一般的”、“冒失的”, 统计资料表明, 这 3种人在一年内发生事故的概率依次为

0.05, 0.15, 0.30

; 如果 “谨慎的” 被保险人占

20 %

, “一般的占

50 %

, “冒失的” 占

30 %

, 问:
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
(2) 若已知某被保险人出了事故, 求他是 “谨慎的” 类型的概率。

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13. 设随机变量

X

的分布律如下: 求: (1)

X

的分布函数; (2)

P {1 \leq X < 3}

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14. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x & 1 \leq x < 2 \\ 0 & 其他 \end{cases}

求: (1)

X

的分布函数

F (x)

(2) 求

P {1 < X < \frac{3}{2}}

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15. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} \frac{x}{2} & 0 < x < A \\ 0 & 其他 \end{cases}

, 求:
(1) 常数

A

(2) 分布函数

F (x)

(3)

P {- 1 < X < \frac{1}{2}}

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16. 设随机变量

X

的概率密度为

f_{x} (x) = {\begin{cases} 2 e^{- 2 x} & x > 0 \\ 0 & 其他 \end{cases}

, 若

Y = 1 - e^{- 2 X}

, 求

Y

的概率密度

f_{Y} (y)

。

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