线性代/高等代数/矩阵与矩阵的秩-数学组卷-自助组卷

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线性代/高等代数/矩阵与矩阵的秩

数学

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

为 2 阶矩阵,

E

为 2 阶单位矩阵,

A^{2} + E = O

, 则下列结论中, 正确的是

A.

| A | = 1

.

B.

A^{T} = A

.

C.

A^{T} = - A

.

D.

A

不是正交矩阵.

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2. 设

n

阶矩阵

A, B

满足

A A^{T} = E, B B^{T} = E

, 其中

E

是

n

阶单位矩阵, 则

A.

| A + B | = | A | + | B |

总成立

B.

| A + B | = | A | + | B |

总不成立

C.

当

| A | | B | < 0

时,

| A + B | = | A | + | B |

成立

D.

当

| A | | B | > 0

时,

| A + B | = | A | + | B |

成立

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3. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array})

, 且

r (B) = 2, r (A B) = 1

, 则

A.

r ((\begin{array}{ll} A^{*} & O \\ A & B \end{array})) = 3

B.

r ((\begin{array}{ll} A & O \\ O & B^{*} \end{array})) = 3

C.

r ((\begin{array}{cc} A^{*} & B \\ O & B^{*} \end{array})) = 3

D.

r ((\begin{array}{ll} A & B^{*} \\ O & B \end{array})) = 3

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4.

n

阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}), B = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})

, 矩阵

C_{1} = A B, C_{2} = A + B, C_{3} = (A, B)

, 则下列命题一定正确的是
(1)矩阵

C_{1}

的列向量组可由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}

线性表示.
(2)矩阵

C_{1}

的列向量组可由

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}

线性表示.
(3)矩阵

C_{2}

的列向量组可由矩阵

C_{3}

的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足

r (C_{2}) \leq r (C_{3}) \leq r (A) + r (B)

.

A.

(1)(3)(4)

B.

(2)(3)(4)

C.

(1)(4)

D.

(3)(4)

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5. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array})

, 且

| A | = - 2, B = (\begin{array}{ccc} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} + 2 a_{11} & a_{22} + 2 a_{12} & a_{23} + 2 a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{array})

, 则

A B^{*} =

A.

(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 4 \\ 2 & 0 & 0 \end{array})

.

B.

(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & - 2 \\ 0 & - 2 & 4 \\ - 2 & 0 & 0 \end{array})

.

C.

(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0 \end{array})

.

D.

(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & - 2 \\ 0 & - 2 & - 4 \\ - 2 & 0 & 0 \end{array})

.

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6. 设

A

为

m \times n

矩阵,若

r (A) = n

, 给出以下四个结论:
(1)

A

可以经过若干次初等行变换化为

(\begin{array}{l} E_{n} \\ O \end{array})

;
(2) 存在

B

使得

B A = E

;
(3)

A^{T} A

与

n

阶单位矩阵等价;
(4)

A^{T} A

与

n

阶单位矩阵合同.
其中正确的个数为

A.

4

B.

3

C.

2

D.

1

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 设

n

阶矩阵

A

满足

A^{2} + 2 A - E = O

, 则

(A - E)^{- 1} =

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8. 矩阵

A = (\begin{array}{rr} 1 & - 2 \\ 3 & 5 \end{array})

的伴随矩阵

A^{*} =

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9. 已知

f (x) = 1 + 2 x + x^{2}

及

A = (\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{array})

, 则

f (A) =

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10. 若

A

是正交矩阵, 则

| A | =

.

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11. 已知三阶矩阵

A

的特征值为

0, 1, 2

, 设矩阵

B = A^{2} - 2 A

, 则

r (B) =

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 已知四阶矩阵

A

的特征值为:

1, 2, 3, 4

.
(1)分别求

3 A, A^{2}, A^{- 1}

的特征值;
(2)求

5 A

的伴随矩阵的行列式

| (5 A)^{*} |

的值

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13. 计算

| \begin{array}{rrrr} - 4 & 3 & 1 & - 5 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 0 & 2 \\ - 3 & 3 & - 5 & 1 \end{array} |

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14. 设

A X B = C

, 其中

A = (\begin{array}{lll} 3 & - 2 & 2 \\ 5 & - 4 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}), C = (\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & 0 \\ - 4 & 1 \end{array})

求未知矩阵

X

.

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15. 设

x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}

是互不相同的

n

个数.
记

| A (t) | = | \begin{array}{cccc} x_{1} + t & x_{1}^{2} + t & \dots & x_{1}^{n} + t \\ x_{2} + t & x_{2}^{2} + t & \dots & x_{2}^{n} + t \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n} + t & x_{n}^{2} + t & \dots & x_{n}^{n} + t \end{array} |

, 其中

t

是参数，证明:

| A (t) | = | A (0) | + t \sum_{i, j = 1}^{n} A_{i j}

. 其中

A_{i j}

是

x_{i j}

在

| A (0) |

中的代数余子式.

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16. 求矩阵

H = (\begin{array}{ccccc} 1 & - b \\ 1 & - b \\ ⋱ & ⋱ \\ 1 & - b \\ 1 \end{array})

的逆矩阵.

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