一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵, $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 则下列结论中, 正确的是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=1$.
$\text{B.}$ $A^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 不是正交矩阵.
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 则
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A^* & O \\ A & B\end{array}\right)\right)=3$
$\text{B.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)\right)=3$
$\text{D.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21}+2 a_{11} & a_{22}+2 a_{12} & a_{23}+2 a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^*=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵,若 $r(\boldsymbol{A})=n$, 给出以下四个结论:
(1) $\boldsymbol{A}$ 可以经过若干次初等行变换化为 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{E}_n \\ \boldsymbol{O}\end{array}\right)$;
(2) 存在 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{E}$;
(3) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵等价;
(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵合同.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 则 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=$
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 3 & 5\end{array}\right)$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=$
已知 $f(x)=1+2 x+x^2$ 及 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & -1\end{array}\right)$, 则 $f(\boldsymbol{A})=$
若 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}|=$.
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为: $1,2,3,4$.
(1)分别求 $3 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值;
(2)求 $5 \boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵的行列式 $\left|(5 \boldsymbol{A})^*\right|$ 的值
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}-4 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & -5 & 1\end{array}\right|$
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 2 & 0 \\ -4 & 1\end{array}\right)$ 求未知矩阵 $\boldsymbol{X}$.
设 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ 是互不相同的 $n$ 个数.
记 $|A(t)|=\left|\begin{array}{cccc}x_1+t & x_1{ }^2+t & \cdots & x_1{ }^n+t \\ x_2+t & x_2{ }^2+t & \cdots & x_2{ }^n+t \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+t & x_n{ }^2+t & \cdots & x_n{ }^n+t\end{array}\right|$, 其中 $t$ 是参数，证明: $|A(t)|=|A(0)|+t \sum_{i, j=1}^n A_{i j}$. 其中 $A_{i j}$ 是 $x_{i j}$ 在 $|A(0)|$中的代数余子式.
求矩阵 $H=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -b & & & \\ & 1 & -b & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -b \\ & & & & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵.