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中考必过同步训练(圆的相关性质2）

填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $A B=2$, 点 $C$ 在线段 $A B$ 上运动, 过点 $C$ 的弦 $D E \perp A B$, 将 $\overparen{D B E}$ 沿 $D E$ 翻折交直线 $A B$ 于点 $F$, 当 $D E$ 的长为正整数时, 线段 $F B$ 的长为

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如图, 在 $Rt \triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C A=C B=3$, 线段 $C D$ 绕点 $C$ 在平面内旋转, 过点 $B$ 作 $A D$ 的垂线,交射线 $A D$ 于点 $E$. 若 $C D=1$, 则 $A E$ 的最大值为 $\qquad$ , 最小值为 $\qquad$ .

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解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的弦, $C$ 为 $\overparen{A B}$ 的中点, 过点 $C$ 作 $C D \| A B$, 交 $O B$ 的延长线于点 $D$. 连接 $O A, O C$.
(1)求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2)若 $O A=3, B D=2$, 求 $\triangle O C D$ 的面积.

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如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $B C, B D$ 是 $\odot O$ 的两条弦, 点 $C$ 与点 $D$ 在 $A B$ 的两侧, $E$ 是 $O B$ 上一点 ( $O E>B E$ ), 连接 $O C, C E$, 且 $\angle B O C=2 \angle B C E$.

(1)如图 1, 若 $B E=1, C E=\sqrt{5}$, 求 $\odot O$ 的半径;
(2)如图 2, 若 $B D=2 O E$, 求证: $B D \| O C$. (请用两种证法解答)

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如图, $\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, $D$ 是直径 $A B$ 上一点, $\angle A C D$ 的平分线交 $A B$ 于点 $E$, 交 $\odot O$ 于另一点 $F, F A=F E$.
(1)求证: $C D \perp A B$;
(2)设 $F M \perp A B$, 垂足为 $M$, 若 $O M=O E=1$, 求 $A C$ 的长.

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如图, $B E$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $A$ 在 $\odot O$ 上, 点 $C$ 在 $B E$ 的延长线上, $\angle E A C=\angle A B C, A D$ 平分 $\angle B A E$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 连结 $D E$.
(1)求证: $C A$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2)当 $A C=8, C E=4$ 时, 求 $D E$ 的长.

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如图, 已知 $\angle P A Q$ 及 $A P$ 边上一点 $C$.
(1)用无刻度直尺和圆规在射线 $A Q$ 上求作点 $O$, 使得 $\angle C O Q=2 \angle C A Q$ ；（保留作图痕迹, 不写作法）
(2)在（1）的条件下, 以点 $O$ 为圆心, 以 $O A$ 为半径的圆交射线 $A Q$ 于点 $B$, 用无刻度直尺和圆规在射线 $C P$ 上求作点 $M$, 使点 $M$ 到点 $C$ 的距离与点 $M$ 到射线 $A Q$ 的距离相等; (保留作图痕迹, 不写作法)
(3)在（1）、(2) 的条件下, 若 $\sin A=\frac{3}{5}, C M=12$, 求 $B M$ 的长.

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如图 1, 塑像 $A B$ 在底座 $B C$ 上, 点 $D$ 是人眼所在的位置. 当点 $B$ 高于人的水平视线 $D E$ 时, 由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大. 数学家研究发现：当经过 $A, B$ 两点的圆与水平视线 $D E$ 相切时 (如图 2), 在切点 $P$ 处感觉看到的塑像最大, 此时 $\angle A P B$ 为最大视角.

(1)请仅就图 2 的情形证明 $\angle A P B>\angle A D B$.
(2)经测量, 最大视角 $\angle A P B$ 为 $30^{\circ}$, 在点 $P$ 处看塑像顶部点 $A$ 的仰角 $\angle A P E$ 为 $60^{\circ}$, 点 $P$ 到塑像的水平距离 $P H$

为 6 m . 求塑像 $A B$ 的高 (结果精确到 0.1 m . 参考数据: $\sqrt{3} \approx 1.73$ ).

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如图, $A B$ 是半圆 $O$ 的直径, 点 $D$ 是弦 $A C$ 延长线上一点, 连接 $B D, B C, \angle D=\angle A B C=60^{\circ}$.
(1)求证: $B D$ 是半圆 $O$ 的切线;
(2)当 $B C=3$ 时, 求 $\overparen{A C}$ 的长.

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如图, 在 $\triangle A B D$ 中, $A B=B D, \odot O$ 为 $\triangle A B D$ 的外接圆, $B E$ 为 $\odot O$ 的切线, $A C$ 为 $\odot O$ 的直径, 连接 $D C$ 并延长交 $B E$ 于点 $E$.
(1)求证: $D E \perp B E$;
(2)若 $A B=5 \sqrt{6}, B E=5$, 求 $\odot O$ 的半径.

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如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C, \angle A C B=90^{\circ}, \odot O$ 经过 $A 、 C$ 两点, 交 $A B$ 于点 $D, CO$ 的延长线交 $A B$ 于点 $F, D E \| C F$ 交 $B C$ 于点 $E$.
(1)求证: $D E$ 为 $\odot O$ 的切线;
(2)若 $A C=4, \tan \angle C F D=2$, 求 $\odot O$ 的半径.

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如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 交 $B C$ 于点 $D, D E \perp A C$, 垂足为 $E . \odot O$ 的两条弦 $F B, F D$ 相交于点 $F$, $\angle D A E=\angle B F D$.
(1)求证: $D E$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2)若 $\angle C=30^{\circ}, C D=2 \sqrt{3}$, 求扇形 $O B D$ 的面积.

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在综合实践活动中, "特殊到一般"是一种常用方法, 我们可以先研究特殊情况, 猜想结论, 然后再研究一般情况，证明结论.

如图, 已知 $\triangle A B C, C A=C B, \odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 点 $D$ 在 $\odot O$ 上 $(A D>B D)$, 连接 $A D 、 B D 、 C D$.

【特殊化感知】
(1) 如图 1, 若 $\angle A C B=60^{\circ}$, 点 $D$ 在 $A O$ 延长线上, 则 $A D-B D$ 与 $C D$ 的数量关系为 $\qquad$ ;

【一般化探究】
(2) 如图 2, 若 $\angle A C B=60^{\circ}$, 点 $C 、 D$ 在 $A B$ 同侧, 判断 $A D-B D$ 与 $C D$ 的数量关系并说明理由;

【拓展性延伸】
(3) 若 $\angle A C B=\alpha$, 直接写出 $A D 、 B D 、 C D$ 满足的数量关系. (用含 $\alpha$ 的式子表示)

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如图, 在圆内接四边形 $A B C D$ 中, $A D < A C, \angle A D C < \angle B A D$, 延长 $A D$ 至点 $E$, 使 $A E=A C$, 延长 $B A$ 至点 $F$,连结 $E F$, 使 $\angle A F E=\angle A D C$.
(1)若 $\angle A F E=60^{\circ}, C D$ 为直径, 求 $\angle A B D$ 的度数.
(2)求证:
① $E F \| B C$;
② $E F=B D$.

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