单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^x+\frac{a x^2+b x}{1-\sin x}\right)^{\cot ^2 x}=1$, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}|x-y|^a \frac{\sin x y^2}{x^2+y^4}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 给出以下结论:
(1) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且偏导数存在;
(2) 当 $\alpha \geqslant 1$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微;
(3) 当 $\alpha>2$ 时, $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续;
(4) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿任意方向的方向导数均存在.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f(x)>0, f^{\prime \prime}(x) f(x)-\left[f^{\prime}(x)\right]^2>0$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(-1) f(1)>f^{\prime}(1) f(-1)$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1) f(1) < f^{\prime}(-1) f(-1)$.
$\text{C.}$ $f^2(0)>f(-1) f(1)$.
$\text{D.}$ $f^2(0) < f(-1) f(1)$.
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^\alpha\left(\tan \frac{\pi}{2} x\right)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $-2 < \beta < 0$ 且 $\alpha+\beta \geqslant 1$.
$\text{B.}$ $0 < \beta < 2$ 且 $\alpha+\beta < 1$.
$\text{C.}$ $\beta < -2$ 且 $\alpha+\beta \geqslant 1$.
$\text{D.}$ $\beta>-2$ 且 $\alpha+\beta < 1$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 椭球面.
$\text{B.}$ 单叶双曲面.
$\text{C.}$ 双叶双曲面.
$\text{D.}$ 柱面.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21}+2 a_{11} & a_{22}+2 a_{12} & a_{23}+2 a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^*=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ -2 & 0 & 0\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵,若 $r(\boldsymbol{A})=n$, 给出以下四个结论:
(1) $\boldsymbol{A}$ 可以经过若干次初等行变换化为 $\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{E}_n \\ \boldsymbol{O}\end{array}\right)$;
(2) 存在 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{E}$;
(3) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵等价;
(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵合同.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
甲乙二人分别向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率均为 $\frac{1}{2}$, 甲射击 4 次, 乙射击 3 次,则甲命中次数大于乙命中次数的概率为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$.
在单位圆周上随机取一点, 该点坐标记为 $(X, Y)$, 则 $D(X)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$.
已知离散型随机变量 $X$ 与连续型随机变量 $Y$ 相互独立,则
$\text{A.}$ $X+Y$ 为离散型随机变量.
$\text{B.}$ $X Y$ 为离散型随机变量.
$\text{C.}$ $X+Y$ 为连续型随机变量.
$\text{D.}$ $X Y$ 为连续型随机变量.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x} \int_0^x\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $f^{(4)}(0)=$
已知微分方程 $y^{\prime}+y=\sin x$ 的解均为方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+y=f(x)$ 的解, 其中 $a$ 为常数, 则方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+y=f(x)$ 满足 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ 的特解为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$
已知曲线 $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, 则 $\oint_L\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}\right) \mathrm{d} s=$
已知 3 阶对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=0, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(-1,2 ; 2,2 ; \rho)$, 若 $X+Y$ 与 $X-2 Y$ 相互独立, 则 $\rho=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int\left[\arcsin \left(x+\frac{1}{2}\right)\right]^2 \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(u)$ 具有 2 阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x^2-y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=16 z\left(x^2+y^2\right)$, 若 $f(1)=0$, $f^{\prime}(1)=2$.
(I) 求 $f(u)$ 的表达式;
(II) 记 $g(x, y)=3 x y-x^3-y^3$, 求 $f[g(x, y)]$ 的极值.
设函数 $f_n(x)=\frac{1}{n+1} x-\arctan x$, 其中 $n$ 为正整数. 证明:
(I) 方程 $f_n(x)=0$ 存在唯一正实根 $x_n$;
(II) 当 $p>2$ 时,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_n^p}$ 收敛.
设 $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ 是有界闭区域, $I(\Omega)=\iiint_{\Omega}\left(x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 取得最小值的积分域记为 $\Omega_1$.
(I) 求 $I\left(\Omega_1\right)$ 的值;
(II) 计算 $\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+2 y^2+3 z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是 $\Omega_1(z \geqslant 0)$ 的上侧边界.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+k \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 均为 4 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, 若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 有无穷多个解.
(I) 求 $k$ 的值;
(II) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 的通解.
已知编号为 1 的盒子中装有 2 个白球和 1 个红球, 编号为 2 的盒子中装有 3 个白球, 现随机各取一球, 交换放人另一个盒子中, 交换两次, 记 $X$ 为红球所在盒子的编号, $Y$ 服从参数为 1 的指数分布, 随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 令 $Z=\frac{Y}{X}$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度;
( II) $Y$ 与 $Z$ 是否相互独立?