2024年台湾高考(指考)试题A



单选题 (共 10 题 ),每题只有一个选项正确
研究显示: 服用某药物后, 在使用者体内的药物残留量随时间呈指数型衰退。已知在服用某药物 2 小时后, 体内仍残留有该药物的一半剂量, 试问下列哪一选项正确?
$\text{A.}$ 服用 3 小时后, 体内仍残留有该药物的 $\frac{1}{3}$ 制量 $\text{B.}$ 服用 4 小时后, 体内仍残留有该药物的 $\frac{1}{4}$ 制量 $\text{C.}$ 服用 6 小时后, 体内仍残留有该药物的 $\frac{1}{6}$ 制量 $\text{D.}$ 服用 8 小时后, 体内仍残留有该药物的 $\frac{1}{8}$ 制量

如图, $O A B C-D E F G$ 为一正方体, 试问向量外积 $\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A G}$ 与下列哪一个向量平行?
$\text{A.}$ $\overrightarrow{A E}$ $\text{B.}$ $\overrightarrow{B E}$ $\text{C.}$ $\overrightarrow{C E}$ $\text{D.}$ $\overrightarrow{O E}$

设 $a \in\{-6,-4,-2,2,4,6\}$, 已知 $a$ 为实系数三次多项式 $f(x)$ 的最高次项係数, 若函数 $y=f(x)$ 的图形与 $x$ 轴交于三点, 且其 $x$ 坐标成首项为 -7 、公差为 $a$ 的等差数列・试问共有几个 $a$ 使得 $f(0)>0$ ?
$\text{A.}$ 1 个 $\text{B.}$ 2个 $\text{C.}$ 3个 $\text{D.}$ 4 个

试问有多少个实数 $x$ 满足 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin x+\sin \frac{\pi}{6}$ 且 $0 \leq x < 2 \pi$ ?
$\text{A.}$ 1 个 $\text{B.}$ 2 个 $\text{C.}$ 3个 $\text{D.}$ 4个

将 1 到 50 这 50 个正整数平分成甲乙两组, 每组各 25 个数, 使得甲组的中位数比乙组的中位数小 1 - 试问共有几种分法?
$\text{A.}$ $C_{25}^{50}$ $\text{B.}$ $C_{24}^{48}$ $\text{C.}$ $C_{12}^{24}$ $\text{D.}$ $\left(C_{12}^{24}\right)^2$

在同一平面上, 相距 7 公里的 $A 、 B$ 两炮台, $A$ 在 $B$ 的正东方。某次演习时, $A$ 向西偏北 $\theta$ 方向发射炮弹, $B$ 则向东偏北 $\theta$ 方向发射砲弹, 其中 $\theta$ 为锐角, 观测回报两炮弹皆命中 9 公里外的同一目标 $P$ 。接著 $A$ 改向西偏北 $\frac{\theta}{2}$ 方向发射炮弹,弹著点为 9 公里外的点 $Q$ ,试问炮弹$B$与弹著点$Q$的距离$BQ$为何?
$\text{A.}$ 4 公里 $\text{B.}$ 4.5 公里 $\text{C.}$ 5 公里 $\text{D.}$ 5.5 公里

某实验室收集了大量的 $A 、 B$ 两相似物种, 记录其身长为 $x$ (单位:公分) 与体重 $y$ (单位:公克), 得 $A 、 B$ 两物种的平均身长分别为 $\overline{x_A}=5.2 、 \overline{x_B}=6$, 标准差分别为 $0.3 、 0.1 $。
令 $A 、 B$ 两物种的平均体重分别为 $\overline{y_A} 、 \overline{y_B}$ 。若 $A 、 B$ 两物种其体重 $y$ 对身长 $x$ 的回归直线分别为 $L_A: y=2 x-0.6 、 L_B: y=1.5 x+0.4$, 相关系数分别为 $0.6 、 0.3$ 。今发现一只身长 5.6 公分、体重 8.6 公克的个体 $P$, 试选出正确的选项。
$\text{A.}$ $\overline{y_A} < \overline{y_B}$ $\text{B.}$ $A$ 物种的体重标准差小于 $B$ 物种的体重标准差 $\text{C.}$ 就 $A$ 物种而言, 个体 $P$ 的体重与平均体重 $\overline{y_A}$ 之差的绝对值大于一个标准差 $\text{D.}$ 点 $(5.6,8.6)$ 到直线 $L_A$ 的距离小于其到直线 $L_B$ 的距离

坐标平面上有一正方形与一正六边形, 正方形在正六边形的右边。已知两正多边形都有一边在 $x$ 轴上, 且正方形中心 $A$ 与正六边形中心 $B$ 都在 $x$ 轴的上方, 且两多边形恰有一个交点 $P$, 又知正方形的边长为 6 , 而点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $2 \sqrt{3}$ 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ 点 $A$ 到 $x$ 䩜的距离大于点 $B$ 到 $x$ 轴的距离 $\text{B.}$ 正六边形的边长为 6 $\text{C.}$ $\overrightarrow{B A}=(7,3-2 \sqrt{3})$ $\text{D.}$ $\overline{A P}>\sqrt{10}$

考虑二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+6 y=6 \\ x+b y=1\end{array}\right.$, 其系数 $a, b$ 之值分别由投掷一颗公正骰子与一枚均匀硬币来决定。令 $a$ 值为骰子出现之点数; 若硬币出现正面时 $b$ 值为 1 , 若硬币出现反面时 $b$ 值为 2 。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ 掷出 $a=b$ 的机率为 $\frac{1}{3}$ $\text{B.}$ 此方程组无解的机率为 $\frac{1}{12}$ $\text{C.}$ 此方程组有唯一解的机率为 $\frac{5}{6}$ $\text{D.}$ 硬币出现反面且此方程组有解的机率为 $\frac{1}{2}$

在坐标平面上给定三点 $A(1,0) 、 B(0,1) 、 C(-1,0)$, 令 $\Gamma$ 为 $\triangle A B C$ 经矩阵 $T=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ a & 1\end{array}\right]$ 变换后的图形, 其中 $a$ 为实数。试选出正确的选项。
$\text{A.}$ 若 $a=0$, 则 $\Gamma$ 为等腰直角三角形 $\text{B.}$ $\triangle A B C$ 的边上至少有两点经 $T$ 变换后坐标不变 $\text{C.}$ $\Gamma$ 必有部分落在第四象限 $\text{D.}$ 平面上找得到一个图形 $\Omega$ 缓 $T$ 变换后为 $\triangle A B C$

多选题 (共 1 题 ),每题有多个选项正确
令坐标平面上满足 $y=\log x$ 的点 $(x, y)$ 所成图形为 $\Gamma$, 试问满足下列哪些关系式的 $(x, y)$ 所成圆形与 $\Gamma$ 完全相同?
$\text{A.}$ $y+\frac{1}{2}=\log (5 x)$ $\text{B.}$ $2 y=\log \left(x^2\right)$ $\text{C.}$ $3 y=\log \left(x^3\right)$ $\text{D.}$ $x=10^y$
填空题 (共 5 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
13. 某销售站销售甲、乙、丙三型手机, 甲手机每支利润 100 元, 乙手机每支利润 400 元,丙手机每支利润 240 元。上年度甲、乙、丙手机各卖出 $A, B, C$ 支, 平均每支利润为 260 元;且知销售甲、乙两型手机共 $A+B$ 支的平均每支利润为 280 元。则该站上年度售出的三型手机数量比为 $A: B: C=$


已知 $f(x) 、 g(x) 、 h(x)$ 皆為实系数三次多项式,且除以 $x^2-2 x+3$ 的余式分別為 $x+1 、x-3、 -2$ 。若 $x f(x)+a g(x)+b h(x)$ 可以被 $x^2-2 x+3$ 整除, 其中 $a, b$ 為实数, 则 $a=$ $b=$


某商场举办现场报名的摸彩箱抽奖活动, 报名截止后, 主持人依报名人数置入同数量的摸彩球, 其中有 10 颗被标示为幸运奖, 其奖项为 5000 元礼券及 8000 元礼券各 5 颗, 每颗球被抽中的机率皆相同, 抽后不放回。抽奖前, 主办单位依奖项个数与报名人数, 主持人公告中奖机率为 $0.4 \%$ 。开始抽奖后, 每人依序抽球, 每个人只有一次抽奖机会。若前 100 位参加抽奖者, 恰有 1 人抽中 5000 元礼券且没有人抽中 8000 元礼券, 则抽奖顺序为第 101 号者可获福券金额的期望值为元。


坐标平面上, 已知向量 $\vec{v}$ 在向量 $(2,-3)$ 方向的正射影长比原长少 1 , 而在向量 $(3,2)$ 方向的正射影长比原长少 2 。若 $\vec{v}$ 与两向量 $(2,-3),(3,2)$ 的夹角皆为锐角, 则 $\vec{v}$ 在向量 $(4,7)$ 方向的正射影长为


坐标平面上, 在以 $O(0,0), A(0,1), B(1,1), C(1,0)$ 为顶点的正方形 (含边界) 内, 令 $R$ 为满足下述条件的点 $P(x, y)$ 所在区域: 具点 $P(x, y)$ 距离为 $|x-y|$ 之所有点所成图形完全落在正方形 $O A B C$ (含边界) 内。则区域 $R$ 的面积为


解答题 (共 2 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
坐标空间中, 设 O 为原点, E 为平面 $ x-z=4$ 。回答下列问题。若原点 $O$ 在平面 $E$ 上的投影点为 $Q$, 且向量 $\overrightarrow{O Q}$ 与向量 $(1,0,0)$ 的夹角为 $\alpha$, 则 $\cos \alpha$ 之值为下列哪一选项?
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $-\frac{1}{2}$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
(5) $\frac{\sqrt{3}}{2}$



坐标空间中, 设 O 为原点, E 为平面 $ x-z=4$ 。已知空间中有一点 $P(a, b, c)$ 满足向量 $\overrightarrow{O P}$ 与向量 $(1,0,0)$ 的夹角 $\theta \leq \frac{\pi}{6}$ 。
(1) 试说明实数 $a, b, c$ 满足不等式 $a^2 \geq 3\left(b^2+c^2\right)$ 。
(2)已知点 $P$ 在平面 $E$ 上且 $b=0$ 。试求 $c$ 的最大可能范围, 并求线段 $\overline{O P}$ 的最小可能长度。



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