单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B$ 均为非零概率事件, 且 $A \subset B$ 成立, 则
$\text{A.}$ ${P}({A} \cup {B})={P}({A})+{P}({B})$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B)$
掷三枚均匀硬币, 若 $A=\{$ 两个正面, 一个反面 $\}$, 则有 $P(A)=$
$\text{A.}$ $1 / 2$
$\text{B.}$ $1 / 4$
$\text{C.}$ $3 / 8$
$\text{D.}$ $1 / 8$
对于任意两个随机变量 $\xi$ 和 $\eta$, 若 $\mathrm{E}(\xi \eta)=\mathrm{E} \xi \mathrm{E} \eta$, 则有
$\text{A.}$ $\mathrm{D}(\xi \eta)=\mathrm{D} \xi \mathrm{D} \eta$
$\text{B.}$ $\mathrm{D}\left(\xi^{+} \eta\right)=\mathrm{D} \xi^{+\mathrm{D}} \eta$
$\text{C.}$ $\xi$ 和 $\eta$ 独立
$\text{D.}$ $\xi$ 和 $\eta$ 不独立
设 $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}2 \sin x, x \in[0, A \pi] \\ 0, x \notin[0, A \pi]\end{array}\right.$ 。若 $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ 是某随机变量的密度 函数, 则常数 $A=$
$\text{A.}$ $1 / 2$
$\text{B.}$ $1 / 3$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $3 / 2$
设 $(\xi, \eta)$ 服从二维正态分布, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $(\xi, \eta)$ 的边际分布仍然是正态分布
$\text{B.}$ 由 $(\xi, \eta)$ 的边际分布可完全确定 $(\xi, \eta)$ 的联合分布
$\text{C.}$ $(\xi, \eta)$ 为二维连续性随机变量
$\text{D.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立的充要条件为 $\xi$ 与 $\eta$ 的相关系数为 0
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一、(本题满分 10 分) 某学生无意将自己的铜匙丢掉了，他记得钥匙丢在教室里，宿舍里，操场上，道路上的概率分别为 0.3 ， 0.25 ， 0.35 和 0.1 . 如果钥匙丢在教室里，能被找到的概率为 0.45 ; 如果钥匙丢在宿舍里，能被找到的概率为 0.67 ; 如果钥匙丢在操场上，能被找到的概率为 0.27 ; 如果钥匙丢在道路上， 能被找到的概率为 0.12 .
(1) 求该学生找到钥匙的概率 (6 分);
(2) 如果该学生找到了钥匙匙，求他在操场上找到的概率 (4 分).
某射手对同一目标进行独立射击，他每次 射击命中目标的概率为 0.24 ，求该射手至少要射击多少次，才 能使至少命中一次目标的概率在 $98 \%$ 以上?
从一副 52 张扑克牌中任意取出 5 张. 设 $\boldsymbol{X}$ : 取出的 5 张牌中的“黑桃"张数.
(1) 求 $\boldsymbol{X}$ 的分布律 (5 分)；
(2) 写出 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数 $F(x)$ (4 分).
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
a x^2+b x+c & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
并且已知 $E(X)=0.5, \operatorname{var}(X)=0.15$ ，试求系数 $a, b, c$.
某种型号的电子元件的使用寿命 $X$ (单 位：小时）具有以下的密度函数：
$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1000}{x^2} & x>1000 \\ 0 & x \leq 1000\end{cases}
$$
(1) 求某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时的概率 (4 分)；
(2) 已知某只电子元件的使用寿命大于 1500 小时，求该元件的 使用寿命大于 2000 小时的概率 (5 分).
设二维随机变量 $(X, Y)$ 联合密度函数为
$$
f(x, y)= \begin{cases}1 & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 2 x \\ 0 & \text { 其它 }\end{cases}
$$
求: (1) 随机变量 $Y$ 边缘密度函数 $f_Y(y)$ (5 分)；
(2) 方差 $D(Y)$
游客乘电梯由底层到电视塔顶层观光，电 梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从电梯底层 起行，假设一位乘客于上午 8 时第 $\boldsymbol{X}$ 分到达电梯底层候梯处， 且随机变量 $X$ 服从区间 $[0,60]$ 上的均匀分布, 试求该乘客等候 时间的数学期望.
设 $G$ 是由 $X$ 轴、 $Y$ 轴及直线
$$
2 x+y-2=0
$$
所围成的三角形区域，二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 内服从 均匀分布. 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X, Y}$.
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1} & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其它 }\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 是末知参数， $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是从该总体中抽取 的一个样本. 求 $\theta$ 的最大似然估计量.
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots\right.$, $\left.X_n\right)$ 是从总体 $X$ 中抽取的一个简单随机样本. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别 表示样本均值与样本方差. 令 $T=\bar{X}^2-\frac{S^2}{n}$ ，求 $E(T)$ ，并 指出统计量 $T$ 是否为 $\mu^2$ 的无偏估计量.