单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $M=\{x \mid-1 < x < 1\}, N=\{x \mid 0 \leqslant x < 2\}$ ，则 $M \cap N=$
$\text{A.}$ $\{x \mid-1 < x < 2\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 0 \leqslant x < 1\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 0 < x < 1\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid-1 < x < 0\}$
设 $z_1, z_2$ 为共轭复数，若 $\left|z_1-z_2\right|=4 \sqrt{3}, \frac{z_1}{z_2} \in \mathbf{R}$ ，则 $\left|z_1\right|=$
$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，若 $f(x)$ 在区间 $(-4,0)$ 上单调递增，则下列关系式中一定成立的是
$\text{A.}$ $f(2)-f(-1)>0$
$\text{B.}$ $2 f(1)+f(-1)>0$
$\text{C.}$ $f(-3)-f(1)>0$
$\text{D.}$ $f(1) \cdot f(-1) \geqslant 0$
已知函数 $f(x)=2^x+\frac{1}{2} x, g(x)=\log _2 x+\frac{1}{2} x, h(x)=x^3+\frac{1}{2} x$ 的零点分别为 $x_1, x_2, x_3$ ，则 $x_1, x_2, x_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $x_1>x_2>x_3$
$\text{B.}$ $x_2>x_3>x_1$
$\text{C.}$ $x_3>x_1>x_2$
$\text{D.}$ $x_2>x_1>x_3$
已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=3$ ，且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ．设 $t$ 为实数，若向量 $t \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$ 与 $2 \boldsymbol{a}+t \boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $t$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(\frac{-13-\sqrt{133}}{3}, \frac{-13+\sqrt{133}}{3}\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{13-\sqrt{133}}{3}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{13-\sqrt{133}}{3}, 2\right) \cup\left(2, \frac{13+\sqrt{133}}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{13+\sqrt{133}}{3},+\infty\right)$
设 $a$ 为不等于 1 的正实数，若不等式 $\log _a x>\tan x$ 对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 都成立，则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\pi}{4}, 1\right)$
对任意正实数 $x, y$ ，记 $m=\min \left\{x, \frac{y}{16 x^2+9 y^2}\right\}$（这里， $\min \{a, b\}$ 表示 $a, b$ 中较小者）．当 $m$ 取得最大值时，$x y$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{18}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
某网络平台推荐的电影作品共 1000 部，从中随机抽取 $n$ 部，统计其评分数据，将所得的评分数据分为 8 组：［66，70），［70，74），⋯，［94，98］，并整理得到如图所示的频率分布直方图。已知样本中评分落在 $[70,74)$ 的电影数为 32 ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $n=200$
$\text{B.}$ 估计有 $20 \%$ 的电影评分为 90 分及以上
$\text{C.}$ 样本数据的第 60 百分位数为 84
$\text{D.}$ 在评分落在［74，78）和［94，98］内的电影中，随机抽取两个，则调查对象来自不同分组的概率为 $\frac{12}{25}$
已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ，且 $a_{n+1}^2-a_n a_{n+1}-a_n^2=0\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．若 $b_n= \frac{1}{a_n+a_{n+1}}$ ，记 $T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 是递增数列
$\text{B.}$ $\left\{a_n b_n\right\}$ 是常数列
$\text{C.}$ $a_n \geqslant n$
$\text{D.}$ $T_n < 1$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A, B \in[0, \pi)$ ，若 $\sin A+\sin B=\sin A \cdot \sin B$ ，则 $\cos (A+B)$ 的值是
在等边三角形 $A B C$ 中，点 $B, D$ 分别位于边 $A C$ 所在直线的两侧．已知 $A D=1, C D=2$ ，当四边形 $A B C D$ 的面积取到最大值时，等边三角形 $A B C$ 的边长是
设 $a$ 为正实数，若对任意的实数 $x>1$ ，不等式 $\frac{\mathrm{e}^{a x}-1}{x^2-1}>\frac{2 \ln x}{a x}$ 都成立，则 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对应边为 $a, b, c$ ．已知 $b=2 a$ ， $\cos B=\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $\frac{a}{c}$ 的值．
（2）求 $\sin \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}$ 的值．
如图，在四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 2的正方形，且 $B_1 C_1=1$ ．
（1）求证：$A A_1 / /$ 平面 $B D C_1$ ．
（2）若 $A A_1 \perp B D, B C_1=C C_1=2$ ，
（i）求证：平面 $B D C_1 \perp$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）求 $B B_1$ 与平面 $B D C_1$ 所成角的正弦值．
某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成。比赛规则如下：
第一阶段由参赛队中一名队员投篮 2 次，记投中次数为 $m$ ，但如果 2 次均未投中，$m=0$ 。
第二阶段由另一名队员投篮 3 次，每次投中得 1 分，没有投中得 0 分；但如果 3 次全中，得 5 分。记这名队员的得分为 $n$ ，那么该队的比赛总得分为 $m \cdot n$ ．
某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为 0 分的概率．
（2）假设 $0 < p < q$ ，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $B_1, B_2$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^2}{8}+ \frac{y^2}{4}=1$ 的下顶点、上顶点．若经过点 $A(0,-2 \sqrt{2})$ 的直线 $l$ 交椭圆于第一、四象限的两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$（异于点 $B_1, B_2$ ）．记直线 $P B_1$ 的斜率为 $k_{P B_1}$ ，直线 $P B_2$ 的斜率为 $k_{P B_2}$ ．
（1）求证： $\tan \angle B_1 P B_2=\frac{k_{P B_1}-k_{P B_2}}{1+k_{P B_1} \cdot k_{P B_2}}$ ．
（2）若 $2 \tan \angle B_1 P B_2=\tan \angle B_1 Q B_2$ ，求 $\frac{x_2}{x_1}$ 的值．
（3）设 $R$ 为直线 $Q B_1$ 与 $P B_2$ 的交点，求证：点 $R$ 在一条定直线上．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{3}, \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}=2+\frac{1}{2 a_n^2}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（1）求证：$a_n>0$ ．
（2）记 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ，
（i）求证：$b_{n+1}>b_n \geqslant 3$ ；
（ii）求证：对任意实数 $p>2$ ，存在正整数 $s$ 使得 $b_s>p$ ．
（3）设 $c$ 为正实数，若对任意正整数 $m \geqslant 2$ ，都有 $\sum_{k=1}^{m-1} a_k < c$ ，求 $c$ 的最小值．