已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ，且 $a_{n+1}^2-a_n a_{n+1}-a_n^2=0\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．若 $b_n= \frac{1}{a_n+a_{n+1}}$ ，记 $T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是
A
$\left\{a_n\right\}$ 是递增数列
B
$\left\{a_n b_n\right\}$ 是常数列
C
$a_n \geqslant n$
D
$T_n < 1$
E
F