已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{3}, \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}=2+\frac{1}{2 a_n^2}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（1）求证：$a_n>0$ ．
（2）记 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ，
（i）求证：$b_{n+1}>b_n \geqslant 3$ ；
（ii）求证：对任意实数 $p>2$ ，存在正整数 $s$ 使得 $b_s>p$ ．
（3）设 $c$ 为正实数，若对任意正整数 $m \geqslant 2$ ，都有 $\sum_{k=1}^{m-1} a_k < c$ ，求 $c$ 的最小值．