在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $B_1, B_2$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^2}{8}+ \frac{y^2}{4}=1$ 的下顶点、上顶点．若经过点 $A(0,-2 \sqrt{2})$ 的直线 $l$ 交椭圆于第一、四象限的两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$（异于点 $B_1, B_2$ ）．记直线 $P B_1$ 的斜率为 $k_{P B_1}$ ，直线 $P B_2$ 的斜率为 $k_{P B_2}$ ．
（1）求证： $\tan \angle B_1 P B_2=\frac{k_{P B_1}-k_{P B_2}}{1+k_{P B_1} \cdot k_{P B_2}}$ ．
（2）若 $2 \tan \angle B_1 P B_2=\tan \angle B_1 Q B_2$ ，求 $\frac{x_2}{x_1}$ 的值．
（3）设 $R$ 为直线 $Q B_1$ 与 $P B_2$ 的交点，求证：点 $R$ 在一条定直线上．