单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列 $2,4,7,11,16$ ，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列 $2,3,4,5$ ，新数列 $2,3,4,5$ 为等差数列，则称数列 $2,4,7,11,16$ 为二阶等差数列．现有二阶等差数列 $\left\{a_n\right\}$ ，其中前几项分别为 $2,5,9,14,20,27$ ，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列 $\left\{b_n\right\}$ ，则 $b_6=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
英国物理学家牛顿用＂作切线＂的方法求函数的零点时，给出的＂牛顿数列＂在航空航天中应用广泛，若数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}$ ，则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 为牛顿数列，如果 $f(x)=x^2-x-2$ ，数列 $\left\{x_n\right\}$ 为牛顿数列，设 $a_n=\ln \frac{x_n+1}{x_n-2}$ 且 $a_1=1, x_n>2$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则 $S_{2022}=$
$\text{A.}$ $2^{2022}-1$
$\text{B.}$ $2^{2022}-2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{2022}-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{2022}-2$
我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将 $1,2,3, \ldots, 9$ 填入 $3 \times 3$ 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个 3 阶幻方．一般地，将连续的正整数 $1,2,3, \ldots$ ， $n^2$ 填入 $n \times n$ 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作 $n$ 阶幻方．记 $n$阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为 $S_n$ ，如 $S_3=45$ ，那么下列说法错误的是
$\text{A.}$ $S_6=666$
$\text{B.}$ 7 阶幻方第 4 行第 4 列的数字可以为 25
$\text{C.}$ 8 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 260
$\text{D.}$ 9 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 396
将正整数 $n$ 分解为两个正整数 $k_1 、 k_2$ 的积，即 $n=k_1 \cdot k_2$ ，当 $k_1 、 k_2$ 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如 $20=1 \times 20=2 \times 10=4 \times 5$ ，其中 $4 \times 5$ 即为 20 的最优分解，当 $k_1 、 k_2$ 是 $n$ 的最优分解时，定义 $f(n)=\left|k_1-k_2\right|$ ，则数列 $\left\{f\left(5^n\right)\right\}$ 的前 2023 项的和为
$\text{A.}$ $5^{1012}$
$\text{B.}$ $5^{1012}-1$
$\text{C.}$ $5^{2023}$
$\text{D.}$ $5^{2023}-1$
欧拉函数 $\varphi(n)\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数，例如： $\varphi(1)=1, \varphi(3)=2$ 。数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\varphi\left(2^n\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则 $S_{10}=()$
$\text{A.}$ 1024
$\text{B.}$ 2048
$\text{C.}$ 1023
$\text{D.}$ 2047
数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列 $2,4,7,11,16$ ，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列 $2,3,4,5$ ，新数列 $2,3,4,5$ 为等差数列，则称数列 $2,4,7,11,16$ 为二阶等差数列，现有二阶等差数列 $\left\{a_n\right\}$ ，其前七项分别为 $2,2,3,5,8,12,17$ ．则该数列的第 20 项为
$\text{A.}$ 173
$\text{B.}$ 171
$\text{C.}$ 155
$\text{D.}$ 151
将 $1,2, \cdots, n$ 按照某种顺序排成一列得到数列 $\left\{a_n\right\}$ ，对任意 $1 \leq i < j \leq n$ ，如果 $a_i>a_j$ ，那么称数对 $\left(a_i, a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个逆序对．若 $n=4$ ，则恰有 2 个逆序对的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 7
已知数列 $\left\{a_n\right\} 、\left\{b_n\right\}, a_{n+1}=\left[\frac{a_n}{2}\right], b_{n+1}=\frac{\left[b_n\right]}{2},\left(n \in N^{+}\right)$其中 $[x]$ 为不大于 $x$ 的最大整数．若 $a_1=b_1=m, m \leq 1000$ ， $m \in \mathrm{~N}^{+}$，有且仅有 4 个不同的 $t$ ，使得 $a_t \neq b_t$ ，则 $m$ 一共有 个不同的取值．
$\text{A.}$ 120
$\text{B.}$ 126
$\text{C.}$ 210
$\text{D.}$ 252
多选题 （共 8 题 ），每题有多个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ．设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对任意 $n \in \mathbf{N}_{+}$，均有 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为 $" \lambda-k$＂数列．若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是＂$\frac{\sqrt{2}}{2}-2$＂数列，且 $a_n>0$ ，则
$\text{A.}$ $S_n=9^{n-1}$
$\text{B.}$ $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列
$\text{C.}$ $\left\{S_n-a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{9^{n-1}-1}{8}$
$\text{D.}$ $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 为等差数列
已知数列 $1,1,2,3,5,8, \ldots$ 被称为＂斐波那契数列＂该数列是以兔子繁殖为例子引入的，故又称为＂兔子数列＂，斐波那契数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a_2=1, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\left(n \geq 3, n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a_3+a_5=\frac{a_8}{a_4}$
$\text{B.}$ $a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2023}=a_{2024}$
$\text{C.}$ $3 a_n=a_{n-2}+a_{n+2}(n \geq 3)$
$\text{D.}$ $a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_n a_{n+1}=a_{n+1}^2$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_n^2-a_{n-1}^2=p\left(n \geq 2, n \in \mathrm{~N}^*, p\right.$ 为非零常数），则称 $\left\{a_n\right\}$ 为＂等方差数列＂，$p$ 称为＂公方差＂，下列对＂等方差数列＂的判断正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\left\{(-2)^n\right\}$ 是等方差数列
$\text{B.}$ 若正项等方差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，且 $a_1, a_2, a_4$ 是等比数列，则 $a_n=\sqrt{n}$
$\text{C.}$ 等比数列不可能为等方差数列
$\text{D.}$ 存在数列 $\left\{a_n\right\}$ 既是等差数列，又是等方差数列
所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如 $0 . \dot{7}=0.7777 \cdots, 0 . \dot{7}$ 如何表示成两个整数的比值呢？ $0.7= \frac{7}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{7}{10^3}+\cdots$ 代表了等比数列 $\left\{\frac{7}{10^n}\right\}$ 的无限项求和，可通过计算该数列的前 $n$ 项的和，再令 $n \rightarrow+\infty$ 获得答案．此时 $S_n=\frac{7}{9}-\frac{7}{9 \times 10^n}$ ，当 $n \rightarrow+\infty$ 时，$S_n \rightarrow \frac{7}{9}$ ，即可得 $0 . ~=\frac{7}{9}$ ．则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $0.4 \dot{5}=\frac{41}{90}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2^n}$ 为无限循环小数
$\text{C.}$ $\frac{1}{7^n}$ 为有限小数
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\frac{1}{5^n}\right\}$ 的无限项求和是有限小数
南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和 《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列。如数列 1,3 ， 6,10 ，它的前后两项之差组成新数列 $2,3,4$ ，新数列 $2,3,4$ 为等差数列，则数列 $1,3,6,10$ 被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 $\left\{c_n\right\}$ 、其前 7 项分别为 $5,9,17,27,37,45,49$ ，设通项公式 $c_n=g(n)$ 。则下列结论中正确的是
（参考公式： $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ ）
$\text{A.}$ 数列 $\left\{c_{n+1}-c_n\right\}$ 为二阶等差数列
$\text{B.}$ 数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 11 项和最大
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^{20}\left(c_{i+1}-c_i\right)=-1440$
$\text{D.}$ $c_{20}=-1170$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_n^2-a_{n-1}^2=p\left(n \geq 2, n \in \mathbf{N}^*, p\right.$ 为非零常数），则称 $\left\{a_n\right\}$ 为＂等方差数列＂，$p$ 称为＂公方差＂，下列对＂等方差数列＂的判断正确的是
$\text{A.}$ $\left\{(-3)^n\right\}$ 是等方差数列
$\text{B.}$ 若正项等方差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，且 $a_1, a_2, a_4$ 是等比数列，则 $a_n=\sqrt{n}$
$\text{C.}$ 等比数列不可能为等方差数列
$\text{D.}$ 存在数列 $\left\{a_n\right\}$ 既是等差数列，又是等方差数列
定义：若存在正实数 $M$ 使 $a_n \leq M\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，则称正数列 $\left\{a_n\right\}$ 为有界正数列．知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\frac{\ln \left(n^2+1\right)}{n+1}, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和。则
$\text{A.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
$\text{B.}$ 数列 $\left\{S_n\right\}$ 为递增数列
$\text{C.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 为有界正数列
$\text{D.}$ 数列 $\left\{S_n\right\}$ 为有界正数列
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 $r$（无论多小），总存在正整数 $N$ ，使得 $n>N$ 时，恒有 $\left|a_n-A\right| < r$ 成立，就称数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛于 A （极限为 A ），即数列 $\left\{a_n\right\}$ 为收敛数列．下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ 数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 是一个收敛数列
$\text{B.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为收敛数列，则 $\exists M \in \mathbf{R}^{+}$，使得 $\forall n \in \mathbf{N}^*$ ，都有 $\left|a_n\right| < M$
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 为收敛数列，而数列 $\left\{a_n-b_n\right\}$ 一定为收敛数列
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 为收敛数列，则数列 $\left\{a_n \cdot b_n\right\}$ 不一定为收敛数列