填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块为 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，行列式 $|A|=1$ ，令
$$
B=\left(\alpha_1-\alpha_2, 2 \alpha_2-\alpha_3, \cdots,(n-1) \alpha_{n-1}-\alpha_n, n \alpha_n-\alpha_1\right) .
$$
求行列式 $|B|=$
设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=$
已知向量 $\alpha_1=(a, 1,-1,1), \alpha_2=(1,1, b, a), \alpha_3=(1, a, 1,-1)$ ，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，对任意 $\boldsymbol{b}$ ，都使得向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的秩为 $\mathbf{2}$ ．
设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $r(A)=4, r\left(A^3\right)=1$ ，且 $r\left(A^2\right)>r\left(A^3\right)$ ，则 $r\left(A^2\right)=$
设 $\varphi$ 是 10 维线性空间 $V$ 到 12 维线性空间 $U$ 的线性映射，则
$$
\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(\varphi))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\varphi))=
$$
设多项式 $f(x)=x^5+x^4-x^3+2 x^2-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^*\right|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^*$ 为 $A$的伴随矩阵。
若 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素全为 1 ，则其极小多项式为
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则其 Jordan 标准形为
设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+k x_2^2+8 x_3^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 k x_2 x_3$ 是正定二次型，求 $k$的取值范围
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), Q=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 满足 $P X P+Q X Q=P X Q+Q X P +P^2-P Q$ ，求 $X$ ．
设 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 为 3 阶实矩阵，若每个元素 $a_{i j}$ 都等于 $a_{i j}$的代数余子式 $A_{i j}$ ，即 $a_{i j}=A_{i j},(i, j=1,2,3)$ ．如果 $a_{33}=1$ ，求非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 的解．
设 $n$ 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ ，证明：
（1）$A$ 可对角化．
（2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．
设 $f(x)$ 是实数域上的二次多项式，且以首一多项式表示最大公因式，若 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=f^{\prime \prime}(x)$ ，且 $f(2025)=0$ ，求 $f(x)$
设 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+a_{n-1} x+a_n$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\varphi$是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足：
$$
\varphi\left(\alpha_i\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_n\right)=-a_n \alpha_1-a_{n-1} \alpha_2-\cdots-a_1 \alpha_n .
$$
证明：$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 线性无关．
设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂等的线性变换，证明：存在 $\sigma-$ 子空间 $V_1, V_2$ ，满足 $V=V_1 \oplus V_2$ ，且 $\sigma \mid V_1$ 为可逆变换，$\sigma \mid V_2$ 为幂等变换。
证明：对任意正整数 $m, n$ ，必存在 2025 阶方阵 $X$ ，使得
$$
X^m+X^n=\left(\begin{array}{cccccc}
2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
3 & 2 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
2024 & 2023 & \ldots & 3 & 2 & 0 \\
2025 & 2024 & \ldots & 3 & 2 & 2
\end{array}\right) .
$$