设 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+a_{n-1} x+a_n$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\varphi$是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足：

$$
\varphi\left(\alpha_i\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_n\right)=-a_n \alpha_1-a_{n-1} \alpha_2-\cdots-a_1 \alpha_n .
$$

证明：$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 线性无关．