单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $\mathrm{t} \rightarrow 0 *$ 时，下列无穷小量中，与 $\int_0^6 \mathrm{~d} y \int_{y^2}^x \frac{2 x^2 y}{1+x y^4} \mathrm{~d} x$ 同阶的是
$\text{A.}$ t．
$\text{B.}$ $\mathrm{t}^2$ ．
$\text{C.}$ $t^3$ ．
$\text{D.}$ $\mathrm{t}^4$ ．
已知质点以恒定速率沿曲线运动时，向心加速度大小为 $\frac{V^2}{\rho}$ ，其中 $V$ 为质点的运动速率，$\rho$ 为曲率半径．现有三条曲线形光滑轨道 $O_i(i=1,2,3), O_i$ 的方程分别为（1）$x^2+y^2=2$ ，（2）$y=\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2}$ ，（3）$y=\frac{1}{x}$ 。当单位质点以恒定速率 $v$ 沿着下列光滑轨道运动时，质点在点 $(1,1)$ 处受到的向心力大小 $F_i(i=1,2,3)$ 按从大到小的顺序为
$\text{A.}$ $F_1=F_3>F_2$ ．
$\text{B.}$ $F_2>F_1=F_3$ ．
$\text{C.}$ $F_3>F_1>F_2$ ．
$\text{D.}$ $F_1>F_2>F_3$ ．
设 $k>0$ ，函数 $f(x)=(x+k)^{\frac{2}{3}}-(x-k)^{\frac{2}{3}}+4$ 没有零点，则 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,4)$ ．
$\text{B.}$ $[0,4]$ ．
$\text{C.}$ $(4,+\infty)$ ．
$\text{D.}$ $[4,+\infty)$ ．
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\mathrm{e}^{\sin x}} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_2$ 最小．
$\text{B.}$ $I_3$ 最小。
$\text{C.}$ $I_1 < 1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})$ ．
$\text{D.}$ $I_3 < 1+\ln 2-\ln (1+\mathrm{e})$ ．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n < 0, n=1,2,3, \cdots$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ 是 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+a_n\right) \mathrm{e}^{-a_n}=1$ 的
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分不必要条件．
$\text{C.}$ 既不充分也不必要条件．
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件．
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-2 x y}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
$\text{D.}$ 不能确定点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{(2 i-1)^2 j^4}{\left(2 n^2-1\right)^4}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{30}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{60}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{120}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{240}$.
设 $\mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶正交矩阵，且 $|\mathbf{A}|=-1, \mathbf{A}_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式， $\mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵，则下列说法中，错误的是
$\text{A.}$ $a_{i j}=-\mathbf{A}_{i j}$ ．
$\text{B.}$ $\left(\mathbf{A}^*\right)^*=-\mathbf{A}$ ．
$\text{C.}$ $\mathbf{A}^3=-\mathbf{E}$ ．
$\text{D.}$ $\mathbf{A}$ 必有特征值－1．
设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，已知 $\mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}, \mathbf{A}^2 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}$ ，若 $\mathbf{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A} \boldsymbol{\alpha}, \mathbf{A}^2 \boldsymbol{\alpha}\right)$ ，则方程组 $\mathbf{B x}=\mathbf{A} \boldsymbol{\beta}$ 的通解为（ ）
$\text{A.}$ $k(-2,1,-1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
$\text{B.}$ $k(2,-1,1)^{\mathrm{T}}+(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
$\text{C.}$ $k(-2,1,1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
$\text{D.}$ $k(2,-1,-1)^{\mathrm{T}}+(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$ 为任意常数．
设 $n$ 阶实对称矩阵 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均可逆，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E} & \mathbf{B A} \\ \mathbf{A B} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{E} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ 合同．
$\text{B.}$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E} & \mathbf{B A} \\ \mathbf{A B} & \mathbf{O}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{E} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{E}\end{array}\right)$ 合同．
$\text{C.}$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E} & \mathbf{B A} \\ \mathbf{A B} & -\mathbf{E}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{E} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & \mathbf{E}\end{array}\right)$ 合同．
$\text{D.}$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E} & \mathbf{B A} \\ \mathbf{A B} & -\mathbf{E}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E} & \mathbf{O} \\ \mathbf{O} & -\mathbf{E}\end{array}\right)$ 合同．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，若 $\theta(x) \in(0,1)$ 满足 $\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t=x \tan (\theta(x) x)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=$
设函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\operatorname{arccot} \mathrm{e}^{-t} \\ y=\ln \left(1+\mathrm{e}^t\right)\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
已知反常积分 $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=1$ ，则 $a=$
设定义在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的函数 $y(x)$ 满足微分方程 $2 y^{\prime}=1-\mathrm{e}^{x-2 y} \tan ^3 x$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $y(x)=$
将周长为 $2 p$ 的平行四边形绕其一边旋转得到一个旋转体，当该旋转体取到最大体积时，平行四边形的较长的边长为
设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4\end{array}\right)$ ，则 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵 $\mathbf{A}^*$ 的非零特征值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=\dfrac{\sqrt[3]{x^3-x^2}}{\arctan x} \mathrm{e}^{\frac{\arctan x}{x}}$ 沿正无穷方向的斜渐近线。
设区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ 与直线 $x=1, y=1$ 围成，函数 $f(x, y)= \left\{\begin{array}{ll}1, & x+y \leq 1, \\ x+y, & x+y>1 .\end{array}\right.$ 计算二重积分 $I=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
设定义在 $[0,2 \pi]$ 上的函数 $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5-4 \cos \frac{x}{2}}}$ ，求 $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 内的极值点个数．
设二元函数 $g(x, y)=f(x+y)+x y(x+y)$ ，其中 $f(u)$ 二阶可导，$f(1)=f^{\prime}(1)=-\frac{3}{4}$ 。已知 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\right)^2=2\left(\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\right)$ ．
（I）求 $g(x, y)$ 的表达式；
（II）求 $g(x, y)$ 的驻点并判断点 $(0,0)$ 是否为 $g(x, y)$ 的极值点，并给出理由．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < 1,2 x_{n+1} \cos x_n=x_n-x_n^2, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$
设 3 阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的各行元素之和均为 0 ，已知对满足各分量之和等于 0 的向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，均有 $\mathbf{A}^2 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}$ ，且 $\operatorname{tr}(\mathbf{A})=0$ 。
（I）求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值；
（II）若向量 $\boldsymbol{\beta}=(-2,1,1)^{\mathrm{T}}$ 满足 $\mathbf{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}$ ，求 $\mathbf{A}$ ．