单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 f\left(-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}$ ，则 $f(x)$ 的极大值和极小值分别为
$\text{A.}$ $-2,2$ ．
$\text{B.}$ $2,-2$ ．
$\text{C.}$ $1,-1$ ．
$\text{D.}$ 1,0 ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^4}=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{f(x)}=$
$\text{A.}$ $\infty$ ．
$\text{B.}$ 0.
$\text{C.}$ 6.
$\text{D.}$ -6 ．
（数一、数三）设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n 2^n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 绝对收敛．
$\text{D.}$ 无法确定．
方程 $\mathrm{e}^x=\mathrm{e} x^2-x+1$ 根的个数为
$\text{A.}$ 1．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4 ．
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-1}{\mathrm{e}^{x^2+y^2}-1}=4$ ，则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可偏导．
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可偏导但不可微．
$\text{C.}$ $f^{\prime}{ }_x(0,0)=f^{\prime}{ }_y(0,0)=4$ 且 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
$\text{D.}$ $f^{\prime}{ }_x(0,0)=f^{\prime}{ }_y(0,0)=0$ 且 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆阵，且 $(\boldsymbol{A B})^2=\boldsymbol{E}$ ，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ $(\boldsymbol{B A})^2=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ．
在下列微分方程中，以 $y=\left(c_1+x\right) \mathrm{e}^{-x}+c_2 \mathrm{e}^{2 x}$（ $c_1, c_2$ 是任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，且满足 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$ ．若 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆，记 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})^{-1}$ ，则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{B}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}^{-1}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B}$ 不一定可逆．
$\text{D.}$ 若 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}=0$ ，必有 $\boldsymbol{\alpha}=0$ ．
以下等式正确的个数为
（1） $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$
（2） $\arctan x+\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}$
（3） $\arctan \mathrm{e}^x+\arctan \mathrm{e}^{-x}=\frac{\pi}{2}$
（4） $\int_0^{\sin ^2 x} \arcsin \sqrt{t} \mathrm{~d} t+\int_0^{\cos ^2 x} \arccos \sqrt{t} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{4}\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4 ．
设 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵．二次型 $f=\sum_{i=1}^n\left(a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\cdots+\right. \left.a_{i n} x_n\right)^2$ 为正定的充要条件是（）
$\text{A.}$ 行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ．
$\text{B.}$ 行列式 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 行列式 $|\boldsymbol{A}|>0$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的全部顺序主子式全部大于 0 ．
关于积分 $\int_1^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n} \mathrm{~d} x(m>0, n>0)$ 的敛散性判断，正确的是（ ）
$\text{A.}$ 当 $n-m>1$ 时收敛；当 $n-m \leqslant 1$ 时发散．
$\text{B.}$ 当 $n-m \geqslant 1$ 时收敛；当 $n-m < 1$ 时发散．
$\text{C.}$ 当 $n-m \leqslant 1$ 时收敛；当 $n-m>1$ 时发散．
$\text{D.}$ 当 $n-m < 1$ 时收敛；当 $n-m \geqslant 1$ 时发散．
假设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 为随机事件，则下面结论正确的是
$\text{A.}$ 若 A 与 B 互不相容，B 与 C 互不相容，则 A 与 C 互不相容．
$\text{B.}$ 若 A 与 B 独立， B 与 C 独立，则 A 与 C 独立．
$\text{C.}$ 若 A 包含 $\mathrm{B}, \mathrm{B}$ 包含 C ，则 A 包含 C 。
$\text{D.}$ 若 A 与 B 对立， B 与 C 对立，则 A 与 C 对立．
假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 具有相同的分布函数 $F(x), Z=X+Y$ 的分布函数为 $G(z)$ ，则对任意的实数 $x$ ，有
$\text{A.}$ $G(2 x)=2 F(x)$ ．
$\text{B.}$ $G(2 x)=F(x) \cdot F(x)$ ．
$\text{C.}$ $G(2 x) \leqslant 2 F(x)$ ．
$\text{D.}$ $G(2 x) \geqslant 2 F(x)$ ．
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ，则服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的随机变量是
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$ ．
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=y(x)$ 由微分方程 $x^2 y^{\prime}+y+x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=0$ 及 $y(1)=0$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 斜渐近线方程为
已知 $f(x)=\frac{(x+1)^2(x-1)}{x^3(x-2)}$ ，则 $I=\int_{-1}^3 \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^2(x)} \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{1+\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{1+\ln \left(1+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right)=$
设 $f(x)=(x-1)^n\left(x^2+5 x+3\right)^n \sin ^2 \frac{\pi}{2} x$ ，则 $f^{(n)}(1)=$
$\boldsymbol{A}$ 是二阶矩阵，$\lambda_1=1, \lambda_2=3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-4 \boldsymbol{A}+5 \boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^2\right), \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $\rho=$
假设总体 $X \sim N(\mu, 8), \mu$ 为末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一组简单随机样本，其均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，如果以区间 $(\bar{X}-1, \bar{X}+1)$ 作为 $\mu$ 的置信区间，那么 $n=$ 36 时，置信度为 $\_\_\_\_$ （答案用标准正态的分布函数 $\Phi(x)$ 表示）。
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{-x}, x>0, \\ 0, x \leqslant 0 .\end{array}\right.$ 利用切比雪夫不等式估计概率 $P\{0 < X < 6\} \geqslant$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $f(x)$ 可微，且 $f(\sqrt{a})=2$ ，并存在正实数 $a$ ，满足 $f^{\prime}\left(\frac{a}{x}\right)=\frac{x}{f(x)}$ ，求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且对于任意实数 $x, y$ ，有
$$
f(x+y)=f(x) \varphi(y)+f(y) \varphi(x),
$$
其中 $\varphi(x)=\cos x+x^2 \mathrm{e}^x$ ，又知 $f^{\prime}(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
求二次积分 $I=\int_0^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{\theta}{2}}^\pi\left(\theta^2-1\right) \mathrm{e}^{r^2} \mathrm{~d} r$ ．
当 $x>0, y>0, z>0$ 时，求 $u(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2 =5 R^2$ 上的最大值，并证明 $a b c^3 \leqslant 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5$ ，其中 $a>0, b>0, c>0$ ．
求级数 $1+\frac{1}{2} x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3+\cdots+\frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^n+\cdots$ 的收敛半径及和函数．
已知 $\lambda=-2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & a & -2 \\ -2 & 2 & 0\end{array}\right]$ 的一个二重特征值，且 $\boldsymbol{A}$ 能相似于对角阵。
（I）求 $a$ 及另一个特征值；
（II）求可逆阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ．
设分子速度总体 $X$ 服从马克斯威尔（Maxwell）分布 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{4 \dot{x}^2}{a^3 \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}, x>0, \alpha>0 \text { 为参数，} \\ 0, x \leqslant 0 .\end{array} x_1, x_2 \cdots \cdots x_n\right.$ 为简单随机样本．
（I）求出 $\alpha$ 的矩估计量 $\hat{\alpha}$ ；
（II）求 $\hat{\alpha}$ 的数学期望．