解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算下列定积分：
（1） $\int_0^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\int_0^2(2 x+1) \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
计算
(1) $\int_0^{\pi / 4} \tan ^{14} x \mathrm{~d} x$.
(2) $\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x} \mathrm{~d} x$.
试证明下列等式：
（1）$I=\int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{t \mathrm{~d} t}{\sin t}$ ．
（2）$I=\int_0^{\pi / 2} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\tan ^\alpha x}=\int_0^{\pi / 2} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\cot ^\alpha x}=\frac{\pi}{4}$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ ．若对任意的 $t \in[0, b-a]$ ，有 $f(a+t)=f(b-t)$ ，则
$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$
（2）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，且 $f(x) / x \rightarrow 2(x \rightarrow 0)$ 。令 $F(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t(-\infty < x < \infty)$ ，则 $F^{\prime} \in C((-\infty, \infty))$ ．
计算下列定积分：
（1）$I=\int_0^1 x(\arctan x)^2 \mathrm{~d} x$ ．
（2）$I=\int_0^{\pi / 2} \sin x \cdot \ln \sin x \mathrm{~d} x$ ．
计算下列定积分：
（1）$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{~d} x(n \geqslant 2)$ ．
（2）$I_n=\int_0^1(\arcsin x)^n \mathrm{~d} x$ ．
试证明下列极限等式：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_0^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=f(0)-f(2 \pi) \quad$（已知 $\left.f^{\prime} \in R([0,2 \pi])\right)$ 。
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_1^n \ln \left[1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right] \mathrm{d} x=2$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $f, g \in R([a, b])$ ，令 $M=\max _{[a, b]}\{f(x)\}, g(x) \geqslant 0$ 且 $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x>0$ 。若 $\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=M \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=M$ 。
（2）设 $f, g \in C([a, b]), \varphi \in R([a, b])$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$ ，则存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得
$$
g\left(\xi_1\right) \int_a^b f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x=f\left(\xi_2\right) \int_a^b g(x) \varphi(x) \mathrm{d} x .
$$
（3）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，则存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得
$$
I=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=f(0)+\frac{1}{2} f^{\prime}(\xi)
$$
（4）设 $f \in C([0,1])$ 且 $f(x)>0$ ，则对 $n \in \mathbf{N}$ ，存在 $\xi_n$ ，使得
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{n} \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\xi_n} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_n}^1 f(x) \mathrm{d} x \\
\lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_n=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x /[f(0)+f(1)]
\end{gathered}
$$
设 $a_n=\sqrt{n}(n-1)!!n!!(n \in \mathbf{N})$ ，试证明
$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} a_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\sqrt{\frac{2}{\pi}} .
$$
试证明下列命题：
（1）曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sin x$ 与 $O x$ 轴上的各区间段 $I_n: n \pi \leqslant x \leqslant(n+1) \pi(n=0,1$ ， $2, \cdots)$ 所围图形的面积 $S_n(n=0,1,2, \cdots)$ 形成等比数列。
（2）曲线 $r=a \sin \frac{\theta}{3}$ 位于各区间段 $0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \pi, \pi \leqslant \theta \leqslant \frac{3}{2} \pi$ 上的扇形面积：$S_1, S_2, S_3$ 形成等差数列。
计算下列反常积分：
（1）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^p}$ ．
（2）$I=\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^p}$ ．
计算下列反常积分：
（1）$I=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{1+x^2}}$ ．
（2）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x+1}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
试证明下列命题：
（1） $\int_1^{+\infty} x^3 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（2） $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（3） $\int_0^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^3} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（4） $\int_2^{+\infty} \frac{\sin ^2 x \mathrm{~d} x}{x^p\left(x^p+\sin x\right)}\left(p>\frac{1}{2}\right)$ 收敛。
试判别下列积分的收敛性：
（1）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2）$I=\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{\sin x} \frac{\sin (2 x)}{x^p} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列命题：
（1）设 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，则 $F^{\prime} \in R([a, b])$ 的充分必要条件是：存在 $g \in R([a, b])$ ，使得
$$
F(x)=F(a)+\int_a^x g(t) \mathrm{d} t
$$
（2）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的单调函数，且 $F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上可导，则 $f \in C([a, b])$.
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有原函数 $F(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $g^{\prime} \in R([a, b])$ ，则乘积函数 $\varphi(x)=f(x) g(x)(x \in[a, b])$ 有原函数。
试证明下列命题：
（1）令 $S_n(\alpha)=\sum_{k=1}^n \frac{\sin (k \alpha)}{k}(0 < \alpha \leqslant \pi)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(\alpha)=\frac{\pi-\alpha}{2}$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ ．若对满足 $g(a)=g(b)=0$ 的任一 $g \in C([a, b])$ ，有 $\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv 0$ 。
（3）设 $f \in C^{2)}([0, \infty)), f(0)=f^{\prime}(0)=0$ 且 $f^{\prime \prime}(x)>0(0 \leqslant x < \infty)$ ．若 $u= u(x)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 过切点 $(x, f(x))$ 的切线在 $x$ 轴上的截距，则
$$
\lim _{x \rightarrow 0+} \int_0^{u(x)} f(t) \mathrm{d} t / \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{8} .
$$