试证明下列极限等式：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_0^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=f(0)-f(2 \pi) \quad$（已知 $\left.f^{\prime} \in R([0,2 \pi])\right)$ 。
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_1^n \ln \left[1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right] \mathrm{d} x=2$ ．