试证明下列命题：
（1）设 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，则 $F^{\prime} \in R([a, b])$ 的充分必要条件是：存在 $g \in R([a, b])$ ，使得

$$
F(x)=F(a)+\int_a^x g(t) \mathrm{d} t
$$

（2）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的单调函数，且 $F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上可导，则 $f \in C([a, b])$.
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有原函数 $F(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $g^{\prime} \in R([a, b])$ ，则乘积函数 $\varphi(x)=f(x) g(x)(x \in[a, b])$ 有原函数。