试证明下列命题：
（1） $\int_1^{+\infty} x^3 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（2） $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（3） $\int_0^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^3} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（4） $\int_2^{+\infty} \frac{\sin ^2 x \mathrm{~d} x}{x^p\left(x^p+\sin x\right)}\left(p>\frac{1}{2}\right)$ 收敛。