试证明下列命题：
（1）设 $f, g \in R([a, b])$ ，令 $M=\max _{[a, b]}\{f(x)\}, g(x) \geqslant 0$ 且 $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x>0$ 。若 $\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=M \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=M$ 。
（2）设 $f, g \in C([a, b]), \varphi \in R([a, b])$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$ ，则存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得

$$
g\left(\xi_1\right) \int_a^b f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x=f\left(\xi_2\right) \int_a^b g(x) \varphi(x) \mathrm{d} x .
$$
（3）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，则存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得

$$
I=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=f(0)+\frac{1}{2} f^{\prime}(\xi)
$$

（4）设 $f \in C([0,1])$ 且 $f(x)>0$ ，则对 $n \in \mathbf{N}$ ，存在 $\xi_n$ ，使得

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{n} \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\xi_n} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_n}^1 f(x) \mathrm{d} x \\
\lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_n=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x /[f(0)+f(1)]
\end{gathered}
$$