试证明下列命题：
（1）令 $S_n(\alpha)=\sum_{k=1}^n \frac{\sin (k \alpha)}{k}(0 < \alpha \leqslant \pi)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(\alpha)=\frac{\pi-\alpha}{2}$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ ．若对满足 $g(a)=g(b)=0$ 的任一 $g \in C([a, b])$ ，有 $\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv 0$ 。
（3）设 $f \in C^{2)}([0, \infty)), f(0)=f^{\prime}(0)=0$ 且 $f^{\prime \prime}(x)>0(0 \leqslant x < \infty)$ ．若 $u= u(x)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 过切点 $(x, f(x))$ 的切线在 $x$ 轴上的截距，则

$$
\lim _{x \rightarrow 0+} \int_0^{u(x)} f(t) \mathrm{d} t / \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{8} .
$$