试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ ．若对任意的 $t \in[0, b-a]$ ，有 $f(a+t)=f(b-t)$ ，则

$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

（2）设 $f \in C((-\infty, \infty))$ ，且 $f(x) / x \rightarrow 2(x \rightarrow 0)$ 。令 $F(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t(-\infty < x < \infty)$ ，则 $F^{\prime} \in C((-\infty, \infty))$ ．