解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A_{2 n-1}=\left(0, \frac{1}{n}\right), A_{2 n}=(0, n), n=1,2, \cdots$ ，求出集列 $\left\{A_n\right\}$ 的上限集和下限集。
证明：$\varliminf_{n \rightarrow \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m$ ．
（1）设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z$ ．对任意 $O \subset Z$ ，证明：$(g \circ f)^{-1}(O)=f^{-1}\left(g^{-1}(O)\right)$ ；
（2）设 $f: X \rightarrow Y$ 是双射，$O \subset Y$ ，证明：$f^{-1}\left(O^c\right)=\left(f^{-1}(O)\right)^c$ ．
设 $f(x), g(x)$ 是定义在 $E$ 上的函数，证明：
（1）$\{x: f(x)>g(x)\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{x: f(x)>g(x)+\frac{1}{n}\right\}$ ；
（2）$\{x: f(x) \geqslant g(x)\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x: f(x)>g(x)-\frac{1}{n}\right\}$ ．
设 $\left\{A_{\varepsilon}: \varepsilon \in R ^{+}\right\}$是集合疾．
（1）若对任意 $\varepsilon_1 < \varepsilon_2, A_{\varepsilon_2} \subset A_{\varepsilon_1}$ ，证明：$\bigcup_{\varepsilon \in R ^{+}} A_{\varepsilon}=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{1 / n i}$ i
（2）若对任意 $\varepsilon_1 < \varepsilon_2, A_{\varepsilon_1} \subset A_{\varepsilon_2}$ ，证明：$\bigcap_{\varepsilon \in R ^{+}} A_{\varepsilon}=\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{1 / n}$ ．
设 $f(x), g(x)$ 是定义在 $E$ 上的函数，证明：对任意 $\varepsilon>0$ ，
$$
\{x:|f(x)+g(x)|>2 \varepsilon\} \subset\{x:|f(x)|>\varepsilon\} \cup\{x:|g(x)|>\varepsilon\} .
$$
证明：若 $\left\{f_n(x)\right\}$ 是定义在 $E$ 上的一列函数，则对任意 $c \in R$ ，
（1）$\left\{x: \inf \left\{f_n(x)\right\} < c\right\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{x: f_n(x) < c\right\} ;$
（2）$\left\{x: \inf \left\{f_n(x)\right\} \geqslant c\right\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x: f_n(x) \geqslant c\right\}$ ．
若 $\left\{f_n(x)\right\}$ 是定义在 $E$ 上的一列函数，且对任意 $x \in E, f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x), n=$ $1,2, \cdots$ ．证明：对任意 $c \in R , A_n=\left\{x: f_n(x)>c\right\}$ 是单调增集合列，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} A_n=\left\{x: \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)>c\right\}
$$
证明：若 $\left\{f_n(x)\right\}$ 是定义在 $R$ 上的函数列，令 $E=\left\{x: \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=+\infty\right\}$ ，则
$$
E=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}\left\{x: f_n(x)>k\right\} .
$$
出一个从 $(-1,1)$ 到 $(-\infty, \infty)$ 的双射，并写出该映射的解析表达式．
证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成集合是对等的．
求下列集合的基数：
（1）$A=\left\{\left(r_1, r_2, \cdots, r_n, r, r_1 \cdots\right): r, r_i \in Q , i=1,2, \cdots, n, n=1,2, \cdots\right\}$ ；
（2）$B=\left\{\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n, \cdots\right): \varepsilon_i \in\{0,1\}, i=1,2, \cdots\right\}$ ；
（3）$C= Q ^{\infty} \underset{\infty}{=}\left\{\left(r_1, r_2, \cdots, r_n, \cdots\right): r_i \in Q , i=1,2, \cdots\right\}$ ．
证明题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则 $A$ 是可数集．
设 $A$ 是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则 $A$ 是可数集。
设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的有限实函数．如果对于任意 $x \in R$ ，存在 $\delta_x>0$ ，使得对任意 $y \in\left(x-\delta_x, x+\delta_z\right), f(y) \geqslant f(x)$ ，则 $f(x)$ 的值域 $f( R )$ 至多是可数集．
证明 $[a, b]$ 上的全体连续函数组成的集合 $C[a, b]$ 的基数为 $c$ ．