2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷

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2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

lim_{n \to \infty} \cos (π \sqrt{1 + 4 n^{2}})

A.

等于 0 .

B.

等于 1 .

C.

等于 -1 .

D.

不存在.

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2. 若

f (x) = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{n t^{n - 1}}{1 + e^{x t}} d t

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

A.

e^{2}

B.

1 + e

C.

\ln (1 + e)

D.

\ln 2

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3. 已知平面区域

D_{1} = {(x, y) | 0 ⩽ y ⩽ x ⩽ \frac{π}{2}}, D_{2} = {(x, y) | 0 ⩽ x ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}}

D_{3} = {(x, y) | \frac{π}{2} ⩽ x ⩽ y ⩽ π}

, 记

I_{1} = \iint_{D_{1}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{2} = \iint_{D_{2}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{3} = \iint_{D_{3}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

,则（）

A.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

D.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

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4. 设

f (x, y) = {\begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, (x, y) = (0, 0), \end{cases}

则

f (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

两个偏导数都存在，函数也连续。

B.

两个偏导数都存在, 但函数不连续.

C.

偏导数不存在，但函数连续。

D.

偏导数不存在, 函数也不连续.

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5. 二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (n - 1) \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - 2 \sum_{1 < i < j < n} x_{i} x_{j}

的正惯性指数为

A.

B.

C.

n - 1

D.

n

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6. 设

A, B, C, D

是四个 4 阶矩阵, 其中

A, D

为非零矩阵,

B, C

可逆, 且满足

A B C D = O

, 若

r (A) +

r (B) + r (C) + r (D) = r

, 则 r 的取值范围是

A.

r < 10

B.

10 ⩽ r ⩽ 12

C.

12 < r < 16

D.

r ⩾ 16

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7. 矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}]

与矩阵

B = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]

相似的充分必要条件为

A.

a - b = 0

B.

a b = 0

C.

a + b = 0

D.

a, b

为任意常数.

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8. 设

A, B

为任意两个事件, 若

P (B) > 0

, 则下列结论正确的是

A.

P (A ∣ A \cup B) = P (A ∣ B)

B.

P (A ∣ A \cup B) < P (A ∣ B)

C.

P (A ∣ A \cup B) > P (A ∣ B)

D.

P (A ∣ A \cup B) ⩾ P (A ∣ B)

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9. 设

X

为非负连续型随机变量, 其

k (k = 1, 2, \dots)

阶矩存在概率密度记为

f (x)

, 分布函数记为

F (x)

,则

\int_{0}^{+ \infty} [1 - F (x)] d x =

A.

E X

B.

E (X^{2})

C.

D X

D.

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10. 设

{\bar{X}}_{n}

和

S_{n}^{2}

分别是样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为

X_{1}

X_{2}, \dots, X_{n}, X_{n + 1}

, 其样本方差为

S_{n + 1}^{2}

. 当

S_{n + 1}^{2} = a S_{n}^{2} + \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{n + 1} - b)}^{2}}{n (n + 1)}

成立时, 有

A.

a = \frac{n - 1}{n}, b = {\bar{X}}_{n}

B.

a = \frac{n}{n + 1}, b = \bar{X}

C.

a = \frac{n - 1}{n}, b = X_{i}

D.

a = \frac{n}{n + 1}, b = X_{i}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(n + k) (n + k + 1)}

, 则

lim_{n \to \infty} u_{n} =

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12.

\int_{0}^{π} \frac{1}{2 + \tan^{2} x} d x =

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13. 已知

f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + \frac{f^{''} (a)}{2} h^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} h^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (a + θ h)}{(n + 1)!} h^{n + 1} (0 < θ < 1)

,若

f^{(n + 2)} (x)

连续, 且

f^{(n + 2)} (x) \neq 0

, 则

lim_{h \to 0} θ =

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14.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{2 n} \frac{i - 1}{n^{3}} \sin (\frac{π i}{n}) \cdot \sqrt{1 - \sin \frac{2 π j}{n}} =

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15. 设

A = [\begin{array}{lll} 1 & 4 & 0 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}], B = (E - A) (E + A)^{- 1}

, 则

(B + E)^{- 1} =

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16. 若

(X, Y)

服从二维正态分布

N (1, 2; 1, 4; 0.5)

, 则

Cov (X - 1, \frac{Y - 2}{2}) =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设数列

{x_{n}}

满足:

x_{1} = 2, x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{2}}{1 - x_{n} + x_{n}^{2}} (n = 1, 2, \dots)

(1) 证明:

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在, 并求其值;
(2) 求

lim_{n \to \infty} [{(\frac{1}{x_{1}} - 1)}^{2} + {(\frac{1}{x_{2}} - 1)}^{2} + \dots + {(\frac{1}{x_{n}} - 1)}^{2}]

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18. 设函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导,

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} < 1

且

\int_{0}^{1} f (x) d x > \frac{1}{2}

. 证明：
(1) 存在

ξ \in (0, + \infty)

, 使得

f (ξ) = ξ

;
(2) 存在与 (1) 中

ξ

相异的点

η \in (0, + \infty)

, 使得

f^{'} (η) = 1

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19. 计算曲面积分

I = \iint_{S} (x^{3} + z^{2}) d y d z + (y^{3} + x^{2}) d z d x + (z^{3} + y^{2}) d x d y

, 其中

S

为上半球面

z = \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}

, 上侧为正.

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20. 设幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

, 其中

a_{0} = 0, a_{1} = 1

, 且满足

\frac{1}{n + 2} a_{n + 2} = \frac{2}{n (n + 1)} a_{n}

, 求
(1) 级数的收敛域;
(2) 幂级数的和函数

S (x)

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21. (1)

A

是

n

阶实对称矩阵.

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

是

A

的特征值,

ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}

是

A

的分别对应于

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}

的标准正交特征向量. 证明

A

可表示成

n

个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设

A = [\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & - 1 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]

, 将

A

表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.

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22. 在任意长为

t

的时间内发生事件

A

的次数

N (t)

服从参数为

\frac{1}{2} t

的泊松分布, 设

T

为相邻两次事件

A

之间的时间间隔.
(1) 求

T

的概率密度函数;
(2) 求使

E (| T - C |)

取得最小值的常数

C

;
(3) 在 (2) 的基础上, 证明:

C

满足

P {T ⩽ C} = P {T ⩾ C} = \frac{1}{2}

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