单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\pi \sqrt{1+4 n^2}\right)$
$\text{A.}$ 等于 0 .
$\text{B.}$ 等于 1 .
$\text{C.}$ 等于 -1 .
$\text{D.}$ 不存在.
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{n t^{n-1}}{1+ e ^{x t}} d t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e ^2$.
$\text{B.}$ $1+ e$.
$\text{C.}$ $\ln (1+ e )$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_2=\iint_{D_2} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_3=\iint_{D_3} e ^{-x^2} \sin y d x d y$,则（）
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0), \\ 0, \quad(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 两个偏导数都存在，函数也连续。
$\text{B.}$ 两个偏导数都存在, 但函数不连续.
$\text{C.}$ 偏导数不存在，但函数连续。
$\text{D.}$ 偏导数不存在, 函数也不连续.
二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=(n-1) \sum_{i=1}^n x_i^2-2 \sum_{1 < i < j < n} x_i x_j$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ $n-1$.
$\text{D.}$ $n$.
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 与矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a-b=0$.
$\text{B.}$ $a b=0$.
$\text{C.}$ $a+b=0$.
$\text{D.}$ $a, b$ 为任意常数.
设 $A, B$ 为任意两个事件, 若 $P(B)>0$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid A \cup B)=P(A \mid B)$.
$\text{B.}$ $P(A \mid A \cup B) < P(A \mid B)$.
$\text{C.}$ $P(A \mid A \cup B)>P(A \mid B)$.
$\text{D.}$ $P(A \mid A \cup B) \geqslant P(A \mid B)$.
设 $X$ 为非负连续型随机变量, 其 $k(k=1,2, \cdots)$ 阶矩存在概率密度记为 $f(x)$, 分布函数记为 $F(x)$,则 $\int_0^{+\infty}[1-F(x)] d x=$
$\text{A.}$ $E X$.
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)$.
$\text{C.}$ $D X$.
$\text{D.}$ 1.
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(n+k)(n+k+1)}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=$
$\int_0^\pi \frac{1}{2+\tan ^2 x} d x=$
已知 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2} h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!} h^{n+1}(0 < \theta < 1)$,若 $f^{(n+2)}(x)$ 连续, 且 $f^{(n+2)}(x) \neq 0$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \theta=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{2 n} \frac{i-1}{n^3} \sin \left(\frac{\pi i}{n}\right) \cdot \sqrt{1-\sin \frac{2 \pi j}{n}}=$
设 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right], B=(E-A)(E+A)^{-1}$, 则 $(B+E)^{-1}=$
若 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(1,2 ; 1,4 ; 0.5)$, 则 $\operatorname{Cov}\left(X-1, \frac{Y-2}{2}\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=2, x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}(n=1,2, \cdots)$
(1) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求其值;
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{1}{x_1}-1\right)^2+\left(\frac{1}{x_2}-1\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{x_n}-1\right)^2\right]$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 1$ 且 $\int_0^1 f(x) d x>\frac{1}{2}$. 证明：
(1) 存在 $\xi \in(0,+\infty)$, 使得 $f(\xi)=\xi$;
(2) 存在与 (1) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta \in(0,+\infty)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=1$.
计算曲面积分 $I=\iint_S\left(x^3+z^2\right) d y d z+\left(y^3+x^2\right) d z d x+\left(z^3+y^2\right) d x d y$, 其中 $S$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, 上侧为正.
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, 其中 $a_0=0, a_1=1$, 且满足 $\frac{1}{n+2} a_{n+2}=\frac{2}{n(n+1)} a_n$, 求
(1) 级数的收敛域;
(2) 幂级数的和函数 $S(x)$.
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.
在任意长为 $t$ 的时间内发生事件 $A$ 的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\frac{1}{2} t$ 的泊松分布, 设 $T$ 为相邻两次事件 $A$ 之间的时间间隔.
(1) 求 $T$ 的概率密度函数;
(2) 求使 $E(|T-C|)$ 取得最小值的常数 $C$;
(3) 在 (2) 的基础上, 证明: $C$ 满足 $P\{T \leqslant C\}=P\{T \geqslant C\}=\frac{1}{2}$.