解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2, n \in \mathrm{~N}^*, a_1=5$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项；
（2）设 $b_n=\frac{2 a_n}{a_n^2-1}, S_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，求证 $S_n < \frac{1}{2}$ ．
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=2 a_n+1$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{a_n+1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, 2 S_n=a_{n+1}-3$ ，且 $a_1=3$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）已知 $b_n=\left\{\begin{array}{l}\log _{\frac{1}{3}} a_n, n \text { 为奇数 } \\ a_n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 都是正项数列，$\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, n \in \mathbf{N}^*$ ，且满足 $2 S_n=a_n\left(a_n+1\right)$ ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=a_1+1, \quad b_1+b_2=b_3-2$.
（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_n$ ，求满足不等式 $M_n>520$ 的自然数 $n$ 的最小值．
设 $\left\{a_n\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_1=1, a_2$ 为 $a_3, a_4$ 的等差中项．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\left|(2 n-10) a_n\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为正项等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 为正项等比数列，其中 $a_2=3, b_1=a_1$ ，且 $a_2, a_3+1, a_5+3$ 成等比数列， $b_1+b_2+b_3=13$.
（1）求 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1$ ，且满足 $2 S_n=a_n \cdot(n+1)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，当 $n \geq 2$ 时，$b_n=\frac{1}{a_{n-1} \cdot a_n \cdot a_{n+1}}$ ．若对于任意 $n \in \mathbf{N}^*$ ，有 $T_n < 1$ ，求 $b_1$ 的取值范围。
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n 项和为 $S_n$ ，已知 $a_1=10, a_2$ 为整数，且 $S_n \leq S_4$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{1}{a_n a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 n 项和 $T_n$ ．
（广东•高考真题）已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $S_n{ }^2-\left(n^2+n-3\right) S_n-3\left(n^2+n\right)=0, n \in N^*$ ，
（1）求 $a_1$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数 $n$ 都有 $\frac{1}{a_1\left(a_1+1\right)}+\frac{1}{a_2\left(a_2+1\right)}+\mathrm{L}+\frac{1}{a_n\left(a_n+1\right)} < \frac{1}{3}$
（山东•高考真题）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n 项和 $S_n=3 n^2+8 n,\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_n=b_n+b_{n+1}$ ．
（I）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_n=\frac{\left(a_n+1\right)^{n+1}}{\left(b_n+2\right)^n}$ ．求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 n 项和 $T_n$ ．
（浙江·高考真题）设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_3=4, a_4=S_3$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：对每 $n \in \mathbf{N}^*, S_n+b_n, S_{n+1}+b_n, S_{n+2}+b_n$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $C_n=\sqrt{\frac{a_n}{2 b_n}}, n \in \mathbf{N}^*$ ，证明：$C_1+C_2+\mathrm{L}+C_n < 2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^*$ ．
（湖北•高考真题）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=2 n^2,\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，且 $a_1=b_1, b_2\left(a_2-a_1\right)=b_1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $T_n$ ．
（重庆•高考真题）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=1, a_2=\frac{5}{3}, a_{n+2}=\frac{5}{3} a_{n+1}-\frac{2}{3} a_n(n=1,2, ...)$ ．
（1）令 $b_n=a_{n+1}-a_n(n=1,2, ...)$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{n a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．