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已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=2 a_n+1$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{a_n+1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
                        
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