已知 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 都是正项数列，$\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, n \in \mathbf{N}^*$ ，且满足 $2 S_n=a_n\left(a_n+1\right)$ ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=a_1+1, \quad b_1+b_2=b_3-2$.
（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_n$ ，求满足不等式 $M_n>520$ 的自然数 $n$ 的最小值．