【32664】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （中山大学，2008 年）求下列行列式： $$ \sum_{j j_2 \cdots j_n}\left|\begin{array}{cccc} a_{1 j_1} & a_{1 j_2} & \cdots & a_{1 j_n} \\ a_{2 j_1} & a_{2 j_2} & \cdots & a_{2 j_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n j_1} & a_{n j_2} & \cdots & a_{n j_n} \end{array}\right|, $$ 这里，$\Sigma$ 是对 $1,2, \cdots, n$ 的所有全排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$ 求和．

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【32663】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （华中师范大学，1994 年）设 $n$ 阶行列式 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{array}\right|, $$ 试求 $D_n$ 的展开式中正项的项数．

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【32662】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （云南大学，2010 年）设四阶行列式 $$ D=\left|\begin{array}{rrrr} 3 & -5 & 2 & d \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^4 & b^4 & c^4 & d^4 \end{array}\right|, $$ 计算 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$ ，其中 $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式．

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【32661】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 设四阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 1 & 8 \\ -2 & 1 & 4 & -7 \\ 3 & 0 & 5 & -9 \\ a & b & c & d \end{array}\right), $$ 而 $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式 $(i, j=1,2,3,4)$ ．试计算： （1） $2 A_{14}-2 A_{24}+3 A_{34}-3 A_{44}$ ； （2）$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ ．

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【32660】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （山东大学，2006 年；南京理工大学，2006 年）计算 $n$ 阶行列式 $$ D=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \\ x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n \end{array}\right| . $$

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【32659】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （南开大学，2002 年）计算行列式： $$ D=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \\ 0 & -2 & -2 & \cdots & -2 \end{array}\right| . $$

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【32658】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 计算 $$ D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc} x & 1 & & & \\ n & x & 2 & & \\ & n-1 & x & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & n \\ & & & 1 & x \end{array}\right| $$

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【32657】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （中国科学技术大学，2011年；湖南师范大学，2011年）证明：$n$ 阶行列式 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccccc} \cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \cos \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha \end{array}\right|=\cos n \alpha . $$

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【32656】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 （湘潭大学，2006 年）计算 $n(n \geqslant 2)$ 阶行列式： $$ D=\left|\begin{array}{cccc} \sin \left(2 \alpha_1\right) & \sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_1+\alpha_n\right) \\ \sin \left(\alpha_2+\alpha_1\right) & \sin \left(2 \alpha_2\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_2+\alpha_n\right) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sin \left(\alpha_n+\alpha_1\right) & \sin \left(\alpha_n+\alpha_2\right) & \cdots & \sin \left(2 \alpha_n\right) \end{array}\right| . $$

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【32655】 【 樊启斌 行列式试题选编】 解答题 计算行列式： $$ D=\left|\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{array}\right| . $$

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