【36421】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 $n$ ．如果 $n=3$ ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n=4$ ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 $50 \%$ ，即取出的产品是优质品的概率都为 $50 \%$ ，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$（单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望．

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【36420】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 如图， A 地到火车站共有两条路径 $L_1$ 和 $L_2$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： [img=/uploads/2026-01/8f3337.jpg][/img] 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站． （I）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （II）用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（I）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。

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【36419】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时． （I）求出甲、乙所付租车费用相同的概率； （II）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列与数学期望 $E \xi$

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【36418】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 $p_1, p_2, p_3, p_2, p_3$ ，假设 $p_1, p_2, p_3$ 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． （1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 $q_1, q_2, q_3$ ，其中 $q_1, q_2, q_3$ 是 $p_1, p_2, p_3$ 的一个排列，求所需派出人员数目 $X$ 的分布列和均值（数字期望）$E X$ ； （3）假定 $1>p_1>p_2>p_3$ ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

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【36417】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则＂星队＂得 3 分；如果只有一个人猜对，则＂星队＂得 1 分；如果两人都没猜对，则 ＂星队＂得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响．假设＂星队＂参加两轮活动，求： （I）＂星队＂至少猜对 3 个成语的概率； （II）＂星队＂两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX．

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【36416】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 袋子 A 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$ ． （1）从 $A$ 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球则停止． ① 求恰好摸 5 次停止的概率； ② 记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为 $\xi$ ，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ ． （2）若 $A 、 B$ 两个袋子中的球数之比为 $1: 2$ ，将 $A 、 B$ 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$ ，求 p 的值．

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【36415】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为＂主主客客主＂，设甲队主场取胜的概率为 0.6 ，客场取胜的概率为 0.5 ，且各场比赛结果相互独立． （1）在比赛进行 4 场结束的条件下，求甲队获胜的概率； （2）赛事主办方需要预支球队费用 $a$ 万元。假设主办方在前 3 场比赛每场收入 100 万元，之后的比赛每场收入 200 万元．主办方该如何确定 $a$ 的值，才能使其获利（获利＝总收入一预支球队费用）的期望高于 $a$ 万元？

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【36414】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 由于 $X$ 病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染 $X$ 病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共 100 名学生中随机抽取 20 人，并对这 20 人进行逐个抽血化验，化验结果如下： $1,9,5,6,2,3,8,5,3,4,2,6,10,5,5,2,1,7,6,6$ 。已知指数不超过 8 表示血液中不含 $X$ 病毒；指数超过 8 表示血液中含 $X$ 病毒且该生已感染 $X$ 病毒。 （1）从已获取的 20 份血样中任取 2 份血样混合，求该混合血样含 $X$ 病毒的概率； （2）已知该校共有 1020 人，现在学校想从还未抽血化验的 1000 人中，把已感染 $X$ 病毒的学生全找出． 方案 $A$ ：逐个抽血化验； 方案 $B$ ：按 40 人分组，并把同组的 40 人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含 $X$ 病毒，再分别对该组的 40 人的另一份血样逐份化验； 方案 $C$ ：将方案 $B$ 中的 40 人一组改为 4 人一组，其他步骤与方案 $B$ 相同。 如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用．试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据： $0.9^{40} \approx 0.014,0.9^{41} \approx 0.013,0.9^4 \approx 0.656,0.9^5 \approx 0.5905$ ）

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【36413】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行．初赛采用＂两轮制＂方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格。高三学年派出甲和乙参赛．在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响。 （1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望． （2）已知甲和乙都获得了决赛资格．决赛的规则如下：将问题放入 $A, B$ 两个纸箱中， A 箱中有 3 道选择题和 2道填空题，$B$ 箱中有 3 道选择题和 3 道填空题．决赛中要求每位参赛同学在 $A, B$ 两个纸箱中随机抽取两题作答．甲先从 A 箱中依次抽取 2 道题目，答题结束后将题目一起放入 $B$ 箱中，然后乙再抽取题目．已知乙从 $B$ 箱中抽取的第一题是选择题，求甲从 A 箱中抽出的是 2 道选择题的概率．

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【36412】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 5月25日是全国大、中学生心理健康日，＂5．25＂的谐音即为＂我爱我＂，意在提醒孩子们＂珍惜生命、关爱自己＂．学校将举行心理健康知识竞赛．第一轮选拔共设有 $A, B, C$ 三个问题，规则如下：（1）每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 $A, B, C$ 分别加 2 分， 4 分， 5 分，答错任一题减 2 分；（2）每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；（3）每位参加者按问题 $A, B, C$ 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题 $A, B, C$ 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率； （2）用 $\xi$ 表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ．

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