【36391】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 第 31 届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有 100 米、 400 米和 1500 米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为 $p_1, p_2$ 和 $p_3\left(p_i>0, i=1,2,3\right)$ ，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止。对于 100 米和 400 米项目，每个项目选手必须考核 2 次，且全部达标才算合格；对于 1500 米项目，选手必须考核 3 次，但只要达标 2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ，选手乙三个项目的达标率依次为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{5}{8}, \frac{3}{4}$ ，每次考核是否达标相互独立． （1）用 $\xi$ 表示选手甲考核积分的总成绩，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； （2）证明：无论 $p_1, p_2$ 和 $p_3$ 取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值。

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【36390】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动。高三（1）班一组有男生 4 人，女生 2 人，现随机选取 2 人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择。每名女生至多从中选择参加 2 项活动，且选择参加 1 项或 2 项的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ；每名男生至少从中选择参加 2 项活动，且选择参加 2 项或 3 项的可能性也均为 $\frac{1}{2}$ ．每人每参加 1 项活动可获得综合评价 10 分，选择参加几项活动彼此互不影响，求 （1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率； （2）记随机选取的两人得分之和为 $X$ ，求 $X$ 的期望．

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【36389】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节。已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为 $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, ~ m$ ，其中 $0<m<1$ ． （1）若 $m=\frac{2}{5}$ ，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求 $m$ 的取值范围．

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【36388】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $\mathrm{X}_{\mathrm{n}}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $\mathrm{p}_{\mathrm{n}}$ ，恰有 1 个黑球的概率为 $\mathrm{q}_{\mathrm{n}}$ ． （1）求 $p_1, q_1$ 和 $p_2, q_2$ ； （2）求 $2 p_n+q_n$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $\mathrm{X}_n$ 的数学期望 $E\left(\mathrm{X}_n\right)$（用 $n$ 表示）。

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【36387】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 在核酸检测中，＂$k$ 合 1 ＂混采核酸检测是指：先将 $k$ 个人的样本混合在一起进行 1 次检测，如果这 $k$ 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束：如果这 $k$ 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测，得到每人的检测结果，检测结束． 现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确． （I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用＂ 10 合 1 ＂混采核酸检测． （i）如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数； （ii）已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ．设 $X$ 是检测的总次数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ ． （II）将这 100 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用＂ 5 合 1 ＂混采核酸检测．设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 $\mathrm{E}(Y)$ 与 $(I)$ 中 $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ 的大小．（结论不要求证明）

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【36386】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．

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【36385】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上（含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25$ ； 乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ； 丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

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【36384】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 某学校组织＂一带一路＂知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．$A$ 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；$B$ 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 $A$ 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 0.6 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

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【36383】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在。治贫先治愚，扶贫先扶智。为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动。支教活动共分 3 批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选。已知这 5 名优秀教师中， 2 人有支教经验， 3 人没有支教经验。 （1）求 5 名优秀教师中的＂甲＂，在这 3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 $X$ 的分布列；

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【36382】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, p$ ，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为 $\frac{1}{12}$ ． （1）求 $p$ 的值； （2）设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列．

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