【36383】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在。治贫先治愚，扶贫先扶智。为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动。支教活动共分 3 批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选。已知这 5 名优秀教师中， 2 人有支教经验， 3 人没有支教经验。 （1）求 5 名优秀教师中的＂甲＂，在这 3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 $X$ 的分布列；

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【36382】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, p$ ，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为 $\frac{1}{12}$ ． （1）求 $p$ 的值； （2）设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列．

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【36381】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年＂五一＂之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派 5 名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满 5 场），若两个年级之间打成 $2: 2$ 则第 5 场比赛定胜负。已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 $\frac{2}{3}$ ，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，且队员、年级之间的胜负相互独立． （1）求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率． （2）若获胜年级积 3 分，被打败年级积 0 分，求高三年级获得积分的分布列和期望．

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【36380】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙组研究新产品成功的概率为 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 $B$ ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求恰好有一种新产品研发成功的概率； （2）若新产品 A 研发成功，预计企业可获得利润 120 万元，不成功则会亏损 50 万元；若新产品 $B$ 研发成功，企业可获得利润 100 万元，不成功则会亏损 40 万元，求该企业获利 $\xi$ 万元的分布列．

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【36379】 【 吉林大学《高等数学A》期末考试试卷与解答】 证明题 若 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，且 $\int_0^a f(x) d x=0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(0, a)$ ，使得 $f(\xi)+\int_0^{\xi} f(x) d x=0$

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【36378】 【 吉林大学《高等数学A》期末考试试卷与解答】 解答题 若 $\varphi(x)$ 连续，且满足方程 $\varphi(x)=\mathrm{e}^x+\int_0^x t \varphi(t) d t-x \int_0^x \varphi(t) d t$ ，（1）写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；（2）求 $\varphi(x)$ ．

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【36377】 【 吉林大学《高等数学A》期末考试试卷与解答】 解答题 摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 的第一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ ，求（1）该摆线的弧长（2）该摆线与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得立体的体积．

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【36376】 【 吉林大学《高等数学A》期末考试试卷与解答】 解答题 如果 $y=f(x)$ 满足 $\Delta y=\frac{1-x}{\sqrt{2 x-x^2}} \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(1)=1$ ，求 $f(x)$

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【36375】 【 吉林大学《高等数学A》期末考试试卷与解答】 解答题 若 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos ^3 t, \\ y=\sqrt{2} \sin ^3 x,\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}$

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【36374】 【 吉林大学《高等数学A》期末考试试卷与解答】 解答题 计算定积分 $\int_0^5 \frac{x+1}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x$

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