【36401】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 某公司计划在 2023 年年初将 200 万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 $30 \%$ ，也可能亏损 $15 \%$ ，且这两种情况发生的概率分别为 $\frac{7}{9}$ 和 $\frac{2}{9}$ ；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 $50 \%$ ，可能损失 $30 \%$ ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{15}$ ． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润 + 本金）可以翻两番？（参考数据 $\lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ）

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【36400】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得 1 分；如果甲输而乙赢，则甲得 -1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得 0 分．设甲赢机器人的概率为 0.7 ，乙赢机器人的概率为 0.6 ．求： （1）在一轮比赛中，甲的得分 $\xi$ 的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分 $\eta$ 的期望和方差。

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【36399】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 袋中有 2 个白球， 3 个红球， 5 个黄球，这 10 个小球除颜色外完全相同． （1）从袋中任取 3 个球，求恰好取到 2 个黄球的概率； （2）从袋中任取 2 个球，记取到红球的个数为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列、期望 $E(\xi)$ 和方差 $D(\xi)$ ．

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【36398】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有 $A, B, C, D$ 这 4 个选项， 4 个选项中仅有两个或三个为正确选项．题目得分规则为：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立．若第一题正确选项为两个的概率为 $\frac{1}{3}$ ，并且规定若第 $i(i=1,2, \mathrm{~L}, n-1)$ 题正确选项为两个，则第 $i+1$ 题正确选项为两个的概率为 $\frac{1}{3}$ ；第 $i(i=1,2, \mathrm{~L}, n-1)$ 题正确选项为三个，则第 $i+1$ 题正确选项为三个的概率为 $\frac{1}{3}$ ． （1）若第二题只选了＂$C$＂一个选项，求第二题得分的分布列及期望； （2）求第 $n$ 题正确选项为两个的概率； （3）若第 $n$ 题只选择 $B 、 C$ 两个选项，设 $Y$ 表示第 $n$ 题得分，求证：$E(Y) \leq \frac{17}{18}$ ．

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【36397】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部 $A 、 B$ 进行体育运动和文化项目比赛，由 $A$ 部、 $B$ 部争夺最后的综合冠军。决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若 $A$ 部、 $B$ 部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天 $A$ 部、 $B$ 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛 $A$ 部获胜的概率为 $p(0<p<1)$ ，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立． （1）记第一天需要进行的比赛局数为 $X$ ，求 $E(X)$ ，并求当 $E(X)$ 取最大值时 $p$ 的值； （2）当 $p=\frac{1}{2}$ 时，记一共进行的比赛局数为 $Y$ ，求 $P(Y \leq 5)$ ．

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【36396】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中． (1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率； (2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X，求X的分布列和数学期望

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【36395】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用 $2 n-1$ 局 $n$ 胜制 $\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的比赛规则，即先赢下 $n$ 局比赛者最终获胜．已知每局比赛甲获胜的概率为 $p$ ，乙获胜的概率为 $1-p$ ，比赛结束时，甲最终获胜的概率为 $P_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ． （1）若 $p=\frac{1}{2}, n=2$ ，结束比赛时，比赛的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望； （2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 $P_3>P_2$ ． （i）求 $p$ 的取值范围； （ii）证明数列 $\left\{P_n\right\}$ 单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义．

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【36394】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从 8 道备选题中随机抽取 4 道题目进行作答。假设在 8 道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 $\frac{3}{4}$ 且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中 6 道题且另外 2 道题不能完成。 （1）求小明至少正确完成其中 3 道题的概率； （2）设随机变量 $X$ 表示小宇正确完成题目的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中 3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．

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【36393】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序 $A$ ，工序 $B$ ，工序 $C$ 。经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ 。现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费 30 元，成功通过三道工序最终的奖励金额是 200 元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序。每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费 100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． （1）若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率； （2）若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值．

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【36392】 【 离散型随机变量的分布列与数字特征】 解答题 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人进球另一人不进球，进球者得 1 分，不进球者得 -1 分；两人都进球或都不进球，两人均得 0 分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，甲扑到乙踢出球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙扑到甲踢出球的概率 $\frac{1}{3}$ ，且各次踢球互不影响． （1）经过 1 轮踢球，记甲的得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望； （2）求经过 3 轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．

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