【36411】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 某猎人发现在距离他 100 米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为 $\frac{3}{5}$ ，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击．假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比． （1）如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了 50 米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了 50 米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加 50 米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于 $\frac{2}{9}$ 时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与数学期望． （2）如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过 $98 \%$ ，至少要连续射击多少次？ 附： $\ln 2 \approx 0.693, \ln 3 \approx 1.099, \ln 5 \approx 1.609$ ．

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【36410】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 某校开展＂学习二十大，永远跟党走＂网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响．每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束。已知甲同学第一组每道题答对的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，第二组每道题答对的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，两组题至少答对 3 题才可获得一枚纪念章． （1）记甲同学在一轮比赛答对的题目数为 $X$ ，请写出 $X$ 的分布列，并求 $E(X)$ ； （2）若甲同学进行了 10 轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大．

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【36409】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 某学校组织＂消防＂知识竞赛，有 $A, B$ 两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．$A$ 类问题中的每个问题回答正确得 40 分，否则得 0 分；$B$ 类问题中的每个问题回答正确得 60 分，否则得 0 分已知小明能正确回答 $A$类问题的概率为 0.7 ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 0.5 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关 （1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

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【36408】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏．班主任把 8 个小球（只是颜色不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各 3个，红色球与绿色球各 1 个．现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记 1 分，黄球每个记 2 分，红球每个记 3 分，绿球每个记 4 分，规定摸球人得分不低于 8 分为获胜，否则为负．并规定如下： ① 一个人摸球，另一人不摸球； ② 摸球的人摸出的球后不放回； ③ 摸球的人先从袋子中摸出 1 球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出 2 个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出 3 个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和。 （1）若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率； （2）若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ；

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【36407】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年 10 月 16 日至 22 日在北京人民大会堂顺利召开。某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神。其中＂学习二十大＂进行竞赛。甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记 0 分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记 1 分，没有全部答对的单位记 -1 分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙单位全部答对的概率为 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响。 （1）经过 1 轮比赛，设甲单位的记分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望； （2）若比赛采取 3 轮制，试计算第 3 轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．

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【36406】 【 离散型随机变量的分布列单元测试】 解答题 甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每轮猜对的概率为 $p$ 。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。已知＂星队＂在第一轮活动中猜对 1 个成语的概率为 $\frac{1}{2}$ ． （1）求 $p$ 的值； （2）记＂星队＂在两轮活动中猜对成语的总数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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【36405】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动。该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{6} ; 1$ 小时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ；两人滑雪时间都不会超过 3 小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列与均值 $E(\xi)$ ，方差 $D(\xi)$ ．

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【36404】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求 ①员工所获得的奖励为1000元的概率； ②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望； (2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

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【36403】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望． （3）设用 $Y$ 表示甲学校的总得分，比较 $D X$ 和 $D Y$ 的大小（直接写出结果）．

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【36402】 【 离散型随机变量的方差】 解答题 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. [img=/uploads/2026-01/527921.jpg][/img] 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立． （1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为 $(7,10]$ 厘米的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这 3 株鸡冠花中恰有 $X$ 株的株高增量为 $(7,10]$ 厘米，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ ； （3）用＂$\xi_k=1$＂表示第 $k$ 组鸡冠花的株高增量为 $(4,10], ~ " \xi_k=0$＂表示第 $k$ 组鸡冠花的株高增量为 $(10,16]$ 厘米， $k=1,2,3$ ，直接写出方差 $D \xi_1, D \xi_2, D \xi_3$ 的大小关系．（结论不要求证明）

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