某校开展＂学习二十大，永远跟党走＂网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响．每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束。已知甲同学第一组每道题答对的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，第二组每道题答对的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，两组题至少答对 3 题才可获得一枚纪念章．
（1）记甲同学在一轮比赛答对的题目数为 $X$ ，请写出 $X$ 的分布列，并求 $E(X)$ ；
（2）若甲同学进行了 10 轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大．