甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用 $2 n-1$ 局 $n$ 胜制 $\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的比赛规则，即先赢下 $n$ 局比赛者最终获胜．已知每局比赛甲获胜的概率为 $p$ ，乙获胜的概率为 $1-p$ ，比赛结束时，甲最终获胜的概率为 $P_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）若 $p=\frac{1}{2}, n=2$ ，结束比赛时，比赛的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 $P_3>P_2$ ．
（i）求 $p$ 的取值范围；
（ii）证明数列 $\left\{P_n\right\}$ 单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义．