解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙组研究新产品成功的概率为 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 $B$ ，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 A 研发成功，预计企业可获得利润 120 万元，不成功则会亏损 50 万元；若新产品 $B$ 研发成功，企业可获得利润 100 万元，不成功则会亏损 40 万元，求该企业获利 $\xi$ 万元的分布列．
某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年＂五一＂之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派 5 名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满 5 场），若两个年级之间打成 $2: 2$ 则第 5 场比赛定胜负。已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 $\frac{2}{3}$ ，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，且队员、年级之间的胜负相互独立．
（1）求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
（2）若获胜年级积 3 分，被打败年级积 0 分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, p$ ，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为 $\frac{1}{12}$ ．
（1）求 $p$ 的值；
（2）设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列．
教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在。治贫先治愚，扶贫先扶智。为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动。支教活动共分 3 批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选。已知这 5 名优秀教师中， 2 人有支教经验， 3 人没有支教经验。
（1）求 5 名优秀教师中的＂甲＂，在这 3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 $X$ 的分布列；
某学校组织＂一带一路＂知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．$A$ 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；$B$ 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 $A$ 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 0.6 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上（含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲： $9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25$ ；
乙： $9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23$ ；
丙： $9.85,9.65,9.20,9.16$ ．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．
在核酸检测中，＂$k$ 合 1 ＂混采核酸检测是指：先将 $k$ 个人的样本混合在一起进行 1 次检测，如果这 $k$ 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束：如果这 $k$ 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用＂ 10 合 1 ＂混采核酸检测．
（i）如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数；
（ii）已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ．设 $X$ 是检测的总次数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ ．
（II）将这 100 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用＂ 5 合 1 ＂混采核酸检测．设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 $\mathrm{E}(Y)$ 与 $(I)$ 中 $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ 的大小．（结论不要求证明）
甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $\mathrm{X}_{\mathrm{n}}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $\mathrm{p}_{\mathrm{n}}$ ，恰有 1 个黑球的概率为 $\mathrm{q}_{\mathrm{n}}$ ．
（1）求 $p_1, q_1$ 和 $p_2, q_2$ ；
（2）求 $2 p_n+q_n$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $\mathrm{X}_n$ 的数学期望 $E\left(\mathrm{X}_n\right)$（用 $n$ 表示）。
甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节。已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为 $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, ~ m$ ，其中 $0 < m < 1$ ．
（1）若 $m=\frac{2}{5}$ ，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求 $m$ 的取值范围．
某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动。高三（1）班一组有男生 4 人，女生 2 人，现随机选取 2 人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择。每名女生至多从中选择参加 2 项活动，且选择参加 1 项或 2 项的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ；每名男生至少从中选择参加 2 项活动，且选择参加 2 项或 3 项的可能性也均为 $\frac{1}{2}$ ．每人每参加 1 项活动可获得综合评价 10 分，选择参加几项活动彼此互不影响，求
（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
（2）记随机选取的两人得分之和为 $X$ ，求 $X$ 的期望．
第 31 届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有 100 米、 400 米和 1500 米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为 $p_1, p_2$ 和 $p_3\left(p_i>0, i=1,2,3\right)$ ，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止。对于 100 米和 400 米项目，每个项目选手必须考核 2 次，且全部达标才算合格；对于 1500 米项目，选手必须考核 3 次，但只要达标 2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ，选手乙三个项目的达标率依次为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{5}{8}, \frac{3}{4}$ ，每次考核是否达标相互独立．
（1）用 $\xi$ 表示选手甲考核积分的总成绩，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（2）证明：无论 $p_1, p_2$ 和 $p_3$ 取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值。
甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人进球另一人不进球，进球者得 1 分，不进球者得 -1 分；两人都进球或都不进球，两人均得 0 分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，甲扑到乙踢出球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙扑到甲踢出球的概率 $\frac{1}{3}$ ，且各次踢球互不影响．
（1）经过 1 轮踢球，记甲的得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；
（2）求经过 3 轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序 $A$ ，工序 $B$ ，工序 $C$ 。经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ 。现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费 30 元，成功通过三道工序最终的奖励金额是 200 元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序。每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费 100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
（1）若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
（2）若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值．
为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从 8 道备选题中随机抽取 4 道题目进行作答。假设在 8 道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 $\frac{3}{4}$ 且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中 6 道题且另外 2 道题不能完成。
（1）求小明至少正确完成其中 3 道题的概率；
（2）设随机变量 $X$ 表示小宇正确完成题目的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望；
（3）现规定至少完成其中 3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．
甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用 $2 n-1$ 局 $n$ 胜制 $\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的比赛规则，即先赢下 $n$ 局比赛者最终获胜．已知每局比赛甲获胜的概率为 $p$ ，乙获胜的概率为 $1-p$ ，比赛结束时，甲最终获胜的概率为 $P_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）若 $p=\frac{1}{2}, n=2$ ，结束比赛时，比赛的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 $P_3>P_2$ ．
（i）求 $p$ 的取值范围；
（ii）证明数列 $\left\{P_n\right\}$ 单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义．
在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中．
(1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率；
(2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X，求X的分布列和数学期望
为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部 $A 、 B$ 进行体育运动和文化项目比赛，由 $A$ 部、 $B$ 部争夺最后的综合冠军。决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若 $A$ 部、 $B$ 部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天 $A$ 部、 $B$ 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛 $A$ 部获胜的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为 $X$ ，求 $E(X)$ ，并求当 $E(X)$ 取最大值时 $p$ 的值；
（2）当 $p=\frac{1}{2}$ 时，记一共进行的比赛局数为 $Y$ ，求 $P(Y \leq 5)$ ．
某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有 $A, B, C, D$ 这 4 个选项， 4 个选项中仅有两个或三个为正确选项．题目得分规则为：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立．若第一题正确选项为两个的概率为 $\frac{1}{3}$ ，并且规定若第 $i(i=1,2, \mathrm{~L}, n-1)$ 题正确选项为两个，则第 $i+1$ 题正确选项为两个的概率为 $\frac{1}{3}$ ；第 $i(i=1,2, \mathrm{~L}, n-1)$ 题正确选项为三个，则第 $i+1$ 题正确选项为三个的概率为 $\frac{1}{3}$ ．
（1）若第二题只选了＂$C$＂一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
（2）求第 $n$ 题正确选项为两个的概率；
（3）若第 $n$ 题只选择 $B 、 C$ 两个选项，设 $Y$ 表示第 $n$ 题得分，求证：$E(Y) \leq \frac{17}{18}$ ．