第 31 届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有 100 米、 400 米和 1500 米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为 $p_1, p_2$ 和 $p_3\left(p_i>0, i=1,2,3\right)$ ，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止。对于 100 米和 400 米项目，每个项目选手必须考核 2 次，且全部达标才算合格；对于 1500 米项目，选手必须考核 3 次，但只要达标 2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ，选手乙三个项目的达标率依次为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{5}{8}, \frac{3}{4}$ ，每次考核是否达标相互独立．
（1）用 $\xi$ 表示选手甲考核积分的总成绩，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（2）证明：无论 $p_1, p_2$ 和 $p_3$ 取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值。