5月25日是全国大、中学生心理健康日，＂5．25＂的谐音即为＂我爱我＂，意在提醒孩子们＂珍惜生命、关爱自己＂．学校将举行心理健康知识竞赛．第一轮选拔共设有 $A, B, C$ 三个问题，规则如下：（1）每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 $A, B, C$ 分别加 2 分， 4 分， 5 分，答错任一题减 2 分；（2）每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；（3）每位参加者按问题 $A, B, C$ 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题 $A, B, C$ 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；
（2）用 $\xi$ 表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi)$ ．