【36482】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 解答题 已知双曲线 $C$ 的虚轴长为 2 ，其中一条渐近线方程为 $y=\frac{1}{2} x$ ．且 $M, N$ 分别是双曲线的左、右顶点． （1）求双曲线 $C$ 的方程； （2）设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C$ 右支于 $A, B$ 两点，若直线 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ． ① 试探究 $k_1$ 与 $k_2$ 的比值 $\frac{k_1}{k_2}$ 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ② 设 $\angle A N G=\alpha, \angle B N G=\beta, 0<\beta<\frac{\pi}{2}$ ，若 $\tan \theta=\frac{1}{7}, \alpha=\beta-\theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $\triangle B G N$ 的面积． [img=/uploads/2026-01/a204ee.jpg][/img]

---

【36481】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 解答题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=B C=2, \angle A B C=120^{\circ}, \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A C}, \lambda \in(0,1)$ ，将点 $A$ 沿 $B D$ 折起到点 $P$的位置，点 $E$ 为 $P C$ 的中点，点 $G$ 为 $\triangle B C D$ 的重心． （1）求证：$E G$ 不平行于平面 $P B D$ ； （2）若 $\lambda=\frac{1}{3}$ ，平面 $P B D \perp$ 平面 $B C D$ ，求二面角 $B-P C-D$ 的正弦值． [img=/uploads/2026-01/0f0ca9.jpg][/img]

---

【36480】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 解答题 已知点 $P_1(t+1, t)$ 在抛物线 $C: x^2=4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_n(n=2,3,4 \cdots)$ ，过点 $P_{n-1}$ 作斜率为 -1 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n-1}$ ，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n, y_n\right)$. （1）求 $t$ 的值； （2）求证：数列 $\left\{x_n\right\}$ 是等差数列，并求 $x_n, y_n$ ； （3）求 $\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积．

---

【36479】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 解答题 如图，矩形 $A B C D$ 中，$|A B|=4,|B C|=2 . A_1 、 B_1 、 A_2 、 B_2$ 分别是矩形四条边的中点，设 $\overrightarrow{O R}=$ $$ \lambda \overrightarrow{O A_2}, \overrightarrow{A_2 T}=(1-\lambda) \overrightarrow{A_2 C}(0<\lambda<1) $$ [img=/uploads/2026-01/d69f56.jpg][/img] （1）证明：直线 $B_1 R$ 与 $B_2 T$ 的交点 $M$ 在椭圆 $K: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上； （2）已知 $P Q$ 为过椭圆 $K$ 的右焦点 $F$ 的弦，直线 $M O$ 与椭圆 $K$ 的另一交点为 $N$ ，若 $M N / / P Q$ ，试判断 $|P Q| 、|M N| 、\left|A_1 A_2\right|$ 是否成等比数列，请说明理由．

---

【36478】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 解答题 欧拉函数 $\varphi(n)\left(n \in N^*\right)$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数．例如： $\varphi(1)=1, \varphi(3)=2, \varphi(4)=2, \varphi(5)=4$ ，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如： 2 和 3,2 的因 数 1 和 2,3 的 因 数 1 和 3 ，所以 2 和 3 互质； 5 和 7 也是互质的． （1）求 $\varphi\left(3^2\right), \varphi\left(3^3\right)$ ； （2）猜测 $\varphi\left(3^n\right)$ 的值（不要求证明）； （3）令 $a_n=\frac{3}{2} \varphi\left(3^n\right)$ ，求数列 $\left\{\frac{\log _3 a_n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

---

【36477】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 填空题 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上异于左右顶点的一点，设 $\angle P F_1 F_2=\alpha, \angle P F_2 F_1=\beta, \angle F_2 P F_1=\gamma$ ，则 $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma$ 的取值范围为

---

【36476】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 填空题 已知圆 $C: x^2-2 x+y^2-3=0$ ，过点 $T(2,0)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $C$ 上，若 $C P / / A B, \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\frac{1}{2}$ ，则 $|A B|=$

---

【36475】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 填空题 已知锐角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha=\frac{4}{5}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$

---

【36474】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 多选题 在直角坐标系 $x O y$ 中，$T(m, n)$ 是曲线 $C: x^2=2 x y+2$ 上任意一点，则下列说法正确的是

---

【36473】 【 浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题答案】 多选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ ．记 $A_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}, B_n=\frac{1}{a_1} \cdot \frac{1}{a_2} \cdots \cdots \frac{1}{a_n}$ 则正确的结论是

---

... 321 322 323 324 325  ...