单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{C}^*=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ；
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}|^{-1} \boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & |\boldsymbol{A}|^{-1} \boldsymbol{B}^*\end{array}\right] ;$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ；
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ．
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+3 x_2+x_3=1, \\ x_1-5 x_2-x_3=b, \\ 2 x_1+2 x_2+x_3=2\end{array}\right.$ 有无穷多组解，则必有（ ）．
$\text{A.}$ $b=1$ ；
$\text{B.}$ $b=-1$ ；
$\text{C.}$ $b=2$ ；
$\text{D.}$ $b=-2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{P}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，已知 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则矩阵 $\left(\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}\right)^{\mathrm{T}}$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\alpha}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P} \boldsymbol{\alpha}$ ．
$\text{D.}$ $\left(\boldsymbol{P}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{lll}x_1 & b_1 & c_1 \\ x_2 & b_2 & c_2 \\ x_3 & b_3 & c_3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}y_1 & b_1 & c_1 \\ y_2 & b_2 & c_2 \\ y_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ ，且 $|A|=3,|B|=-4$ ，则 $|A+B|$ 等 于
$\text{A.}$ -1 ；
$\text{B.}$ 1 ；
$\text{C.}$ -2 ；
$\text{D.}$ -4 ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关，则以下命题中，不一定成立的是（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_4$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\
-1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\
0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{array}\right|$
$2 n$ 阶行列式 $D_{2 n}=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $n$ 阶矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & 0 \\
0 & 0 & \cdots & a
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & b \\
0 & \cdots & b & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
b & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right] .
$$
设齐次线性方程组 $\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的基础解系含有 2 个解向量，则 $a=$
若实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 \lambda x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2^2+4 x_2 x_3+4 x_3^2
$$
为正定二次型，则常数 $\lambda$ 的取值范围为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（数学二、数学三）设 $\alpha _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4 \\ 2\end{array}\right], \alpha _2=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -2 \\ b\end{array}\right], \alpha _3=\left[\begin{array}{c}-3 \\ -1 \\ a \\ -9\end{array}\right], \beta =\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 10 \\ a+b\end{array}\right]$ ．
(1) 当 $a, b$ 为何值时，$\beta$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出；
(2) 当 $a, b$ 为何值时，$\beta$ 何由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，写出表达式．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解．
（I）求 $a$ 的值；
（II）求方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 的通解．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)$ ．
（I）试求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值；
（II）利用（I）的结果，求矩阵 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=6 x_1^2+5 x_2^2+7 x_3^2-4 x_1 x_2+4 t x_1 x_3$ ．
（1）当 $t$ 取何值时，该二次型正定？
（2）取 $t=1$ ，用正交变换法将 $f$ 化成标准型，写出标准型及所用的正交变换
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b & b & \cdots & a\end{array}\right|$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $A^* X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A$ 的列向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ，且 $r(A)=3, B=\left(\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_3\right)$ ．
证明：齐次线性方程组 $B X=0$ 只有零解．