单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
曲面 $x^2+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$ ．
$\text{B.}$ $x+y+z=0$ ．
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$ ．
$\text{D.}$ $x-y-z=0$ ．
已知对坐标的曲线积分 $\int_L\left(2 x \sin y+m x^2 y\right) d x+\left(x^3+x^2 \cos y+y^2\right) d y$在全平面内与路径无关，$L$ 为平面上任一曲线，则常数 $m=$
$\text{A.}$ 1 ；
$\text{B.}$ 2 ；
$\text{C.}$ 3 ；
$\text{D.}$ 4 ．
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ ．
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ ．
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$ ．
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)$（ $k$ 为常数）
$\text{A.}$ 绝对收敛．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{|x y|}}{x^2+y^2} \sin \left(x^2+y^2\right) & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 & x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续但不可偏导
$\text{B.}$ 可偏导但不可微
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过点 $M_0(1,-1,2)$ 且与平面 $\pi_1: x+2 y-z-2=0$ 与 $\pi_2: x-y-z-4=0$ 的交线垂直的平面为
设区域 $D$ 由闭曲线 $|x|+|y|=1$ 围成，则 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，则 $a_2=$
$L$ 是顺时针方向的椭圆曲线 $x^2+9 y^2=1$ ，则积分 $\oint_{\underline{I}}-2 y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$ $\_\_\_\_$ ．
设二元函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z=2 x+e^{2 y-3 z}$ 所确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}+3 \frac{\partial z}{\partial y}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\int_{\text {1 }}(2 x \sin y+y) d x+\left(x^2 \cos y+2 x\right) d y$ ，其中 $L: x^2+y^2=2 a x(a>0)$从 $(0,0)$ 到 $(2 a, 0)$ 的上半圆周。
在曲面 $z=2-x^2-y^2$ 位于第一卦限的部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小．
求二阶微分方程 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 \ln x$ 的通解
求函数 $z=f\left(\frac{x^2-y^2}{2}, x y\right)$ 的 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数．
计算三重积分 $\iiint_{\Omega}(x+z) d v$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 所围成区域
计算 $\iint_{\Sigma}-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4$ 被平面 $x+z=2$ 和 $z=0$ 所截部分的外侧。
求过点 $P(-1,2,1)$ 且与直线 $L_1:\left\{\begin{array}{c}x+2 y-z+1=0 \\ x-y+z-1=0\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{c}2 x-y+1=0 \\ x-y+z=0\end{array}\right.$ 都平行的平面的方程．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明无穷级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{n!}{n^2}$ 收敛.
设 $z=f(x, y)$ 是由 $\varphi(x-a z, y-b z)=0$ 确定，其中 $\varphi$ 可微，$a, b$ 为常数。
证明：曲面 $\varphi(x-a z, y-b z)=0$ 上任一点的切平面与直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-(a+b) z=0, \\ (1+b) x-a y-a z=0\end{array}\right.$平行。