单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^2, x=1$所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于
$\text{A.}$ $x y$ ．
$\text{B.}$ $2 x y$ ．
$\text{C.}$ $x y+\frac{1}{8}$ ．
$\text{D.}$ $x y+1$ ．
设有直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$ 与 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x-y=6, \\ 2 y+z=3,\end{array}\right.$ 则 $L_1$ 与 $L_2$ 的夹角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$ ．
设$ u_n \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right) $
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 绝对收敛．
$\text{C.}$ 条件收敛。
$\text{D.}$ 收敛性根据所给条件不能判定。
设 $f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，$z=f(x, x y)$ ，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=()$ 。
$\text{A.}$ $x f_{12}^{\prime \prime}+x y f_{22}^{\prime \prime}+f_2^{\prime}$
$\text{B.}$ $f_{12}^{\prime \prime}+x y f_{22}^{\prime \prime}+f_2^{\prime}$
$\text{C.}$ $x f_{12}^{\prime \prime}+x y f_{22}^{\prime \prime}$
$\text{D.}$ $x f_{12}^{\prime \prime}+y f_{22}^{\prime \prime}+f_2^{\prime}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设平面过原点与点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+ 2 z-8=0$ 垂直，则此平面方程为
微分方程 $y^{\prime}=e^{x+y}$ 的通解为
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right)^p \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 点的两个偏导数存在，则 $p$ 的范围为
设 $L: x^2+(y-1)^2=1$ ，则 $\int_L\left(x \sqrt{x^2+y^2}+x^2+y^2\right) \mathrm{d} l=$
设连续二元函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+x-2 y-2}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=0$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,0)}=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算阿基米德螺线$\rho=a \theta \quad(a>0)$ 上相应于 $\theta$ 从 0 变到 $2 \pi$ 的一段弧与极轴所围成的图形的面积．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ．记
$$
\begin{aligned}
I= & \int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] d x \\
& +\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] d y
\end{aligned}
$$
证明：
（1）曲线积分 $I$ 与路径无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，$I=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$ ．
求原点到直线
$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x-z+2=0 \\
-y+2 z-1=0
\end{array}\right.
$$
的垂线方程．
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+4 z^2=4(z \geqslant 0)$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{4-x^2-4 z^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $y=f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)>0$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线方程．
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 满足初始条件 $x=0, y=2$ 的特解。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{3^n n}$ 的收敛域与和函数．
$f(x, y) \in C^2, z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ ．
（1）求偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ 确定了函数 $y=y(x, z)$ ，求全微分 $\mathrm{d} y$ ．
$f(x, y)$ 具有连续的偏导数，并且满足 $f(0,0)=0, \sqrt{f_x{ }^2(x, y)+f_y{ }^2(x, y)} \leq M$ ．证明： $|f(x, y)| \leq M \rho$ ，其中 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ ．
试判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ 的敛散性．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 连续且恒大于零，$F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d v}{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) d \sigma}, G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) d \sigma}{\int_{-t}^t f\left(x^2\right) d x}$ ，其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}, \quad D(t)=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\} ;$
证明：当 $t>0$ 时，$F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
设级数 $\sum_{k=2}^{\infty} a_k x^k$ 在 $[0,1]$ 上收敛，$f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^n$ ，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收敛。