设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ．记

$$
\begin{aligned}
I= & \int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] d x \\
& +\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] d y
\end{aligned}
$$
证明：
（1）曲线积分 $I$ 与路径无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，$I=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$ ．