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极限计算专项练习

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 在下列选择中，当

x \to 0^{+}

时，是

\sqrt{x}

的等价无穷小的是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - \cos x}{\sin^{2} x}

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3. 计算以下极限:
(1)

lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 1}

;
(2)

lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x + 2}{3 x + 1})}^{x + 5}

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lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{\int_{0}^{x} \frac{\ln (1 + t^{3})}{t} d t} =

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lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{(- 1)^{n}} =

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三、解答题（共 35 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 计算广义积分

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{(3 + x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}}}

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7. 设函数

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 且

f (0) = f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 1

. 设曲线

y = f (x)

在点

(x, f (x))

处的切线在

x

轴上的截距为

u (x)

, 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{f (u (x))}{f (x)}

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8. 计算函数

y = {(\frac{x}{1 + x})}^{x}

的一阶导数

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9. 已知等式

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} + a^{2} y = 0

，对其作变量代换

x = \sin t

，计算所得

y

关于

t

的导数的等式.

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10. 计算下列极限.
(1)

lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 x)^{\sin x} - 1}{x^{2}}

.

(2)

lim_{x \to 0} \frac{\ln (e + \sin 2 x) - 1}{x}

.

(3)

lim_{x \to 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{\tan^{2} x}

.

(4)

lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}}

.

(5)

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \cos x} - \sqrt{1 + x}}{x^{2} \arcsin 2 x}

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11. 2.计算下列极限.
(1)

lim_{x \to 0} (\cos x + x^{2})^{\frac{1}{x \ln (1 + x)}}

.

(2)

lim_{x \to 0} (e^{x} + e^{\sin 2 x} - 1)^{\frac{1}{x}}

.

(3)

lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2 x}

.

(4)

lim_{x \to 0} {(\frac{\arctan x}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}

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12. 计算极限

lim_{x \to 1} (\frac{m}{1 - x^{m}} - \frac{n}{1 - x^{n}}) .

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13. 设

f (x) = \frac{x^{2} - (\sin x)^{2}}{x^{4}}

.
(1) 计算

lim_{x \to 0} f (x)

;
(2) 证明: 当

x \to \infty

时,

f (x)

是关于

\frac{1}{x}

的 2 阶无穷小.

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14. 计算

lim_{x \to 0} \frac{3 \sin x + x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1 + \cos x) \ln (1 + x)}

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15. 已知函数

f (x)

连续, 请讨论

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

与

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos x) d x

的大小关系, 并计算定积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\ln (1 + \sqrt{\sin x}) - \ln (1 + \sqrt{\cos x}) + \sin^{3} x}{2} d x

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16. 计算下列极限:
(1)

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{1}^{x} [t^{2} (e^{\frac{1}{t}} - 1) - t] d t}{x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})}

.
(2)

lim_{x \to + \infty} {(x + \sqrt{1 + x^{2}})}^{\frac{1}{x}}

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17. 计算

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}

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18. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x^{3}}

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19. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}

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20. 计算

lim_{x \to 0} x \cot x

;

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21. 利用等价无穷小计算

lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin^{3} x}

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22. 计算极限:

lim_{n \to \infty} (\sin \frac{1}{n^{2}} + \sin \frac{3}{n^{2}} + \dots + \sin \frac{2 n - 1}{n^{2}})

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23. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}

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24. 计算

lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3 x}

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25. 计算求正常数

a, b

, 使得

lim_{x \to 0} \frac{1}{b x - \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2} d t}{\sqrt{a + t^{2}}} = 3

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26. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x})

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27. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos x^{2}}}{1 - \cos x}

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28. 计算极限

lim_{x \to a + 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a} + \sqrt{x - a}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} (a \geq 0)

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29. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x + x^{2}) + \ln (1 - x + x^{2})}{\sec x - \cos x}

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30. 计算极限：

lim_{n \to \infty} \sin (\sqrt{n^{2} + a^{2}} \cdot π)

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31. 求

lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}}

．

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32. 求

lim_{x \to + \infty} x (\frac{π}{2} - \arctan x)

．

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33. 求

lim_{x \to \frac{π}{2}} (\sec x - \tan x)

．

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34. 求

lim_{x \to 0^{+}} x^{x}

．

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35. 求

lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^{2} \sin x}

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36.

lim_{x \to 0^{+}} x^{n} \ln x (n > 0)

;

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37.

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{x})}{arccot x}

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38.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2})}{\sec x - \cos x}

;

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39.

lim_{x \to 0} x^{2} e^{\frac{1}{x^{2}}}

;

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40.

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x})}^{x}

;

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