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(积分专项)考研数学8~14章测试1

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

连续, 则下列结论不成立的是

A.

\int_{0}^{π} f (\sin x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

B.

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

C.

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} [f (x) + f (- x)] d x

D.

\int_{- 1}^{1} x f (x) d x = \int_{0}^{1} x [f (x) + f (- x)] d x

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2. 函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续是

f (x)

在

[a, b]

上可积的

A.

必要条件

B.

充分条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分也非必要条件.

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3. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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4. 若

\int f (x) d x = F (x) + C

, 则

\int f (2 x + 3) d x =

A.

F (2 x + 3)

B.

2 F (2 x + 3) + C

C.

\frac{1}{2} F (2 x + 3)

D.

\frac{1}{2} F (2 x + 3) + C

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5. 下列反常积分发散的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x

B.

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

C.

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln x} d x

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6. 设

a \neq b

, 若

\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} d x

收敛,则

a, b

的取值范围为

A.

a < 0, b < 0

B.

a < 0, b > 0

C.

a > 0, b < 0

D.

a > 0, b > 0

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7. 设函数

f^{'} (x)

连续, 则

\int f^{'} (2 x) d x = ()

A.

f (2 x) + c

;

B.

2 f (x) + c

;

C.

\frac{1}{2} f (2 x) + c

;

D.

x f (2 x) + c

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8. 若

\int f (x) d x = F (x) + C

，则

\int f (a x + b) d x = ()

A.

a F (a x + b) + C

B.

\frac{F (a x + b)}{a} + C

C.

\frac{F (x)}{a} + C

D.

a F (x) + C

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9. 求函数

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x

A.

\frac{π}{8}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{2}

D.

π

E.

2 π

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. (1)

\int \arcsin x d x = \underset{―}{}

.
(2)

\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \arctan x d x = \underset{―}{}

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11. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

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12. 计算不定积分

\int \frac{\ln \ln x}{x} d x

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13. 求不定积分

\int e^{x} \cos (2 e^{x}) d x

;

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 设

f (x)

连续,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

. 求极限

lim_{x \to 0} {[1 + \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t]}^{(t a n x - x) \ln (1 + x)}

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15. 求不定积分

\int \sin \sqrt{x} d x

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16.

\int \cos 2 x d x

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17.

\int \frac{1}{x (1 + 2 \ln x)} d x

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18.

\int \sec x d x

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19.

\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

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20. 计算

\int_{0}^{1} \frac{1}{(x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)} d x

．

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21. 求

\int \frac{1}{3 + 2 x} d x

．

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22. 求

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{n}{n}})

；

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23.

\int_{0}^{π} \sqrt{1 + \cos 2 x} d x

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24. 计算

\int_{0}^{a} \frac{d x}{x + \sqrt{a^{2} - x^{2}}}

；

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