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考研数学1~7章测试3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

的二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如右图所示, 则曲线

y =

f (x)

拐点个数为

A.

B.

C.

D.

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2. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

-1

D.

-2

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x \to 0^{+}

时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是 ( )
(1). 由

{\begin{cases} x = t^{3} \\ y = t^{2} \end{cases}

确定的函数

y = f (x)

(2).

\ln (- x + \sqrt{1 + x^{2}})

(3).

\int_{0}^{\sin x} \ln (1 + \sqrt{t^{2}}) d t

(4).

\frac{1 - \cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}

A.

(1)(4)(2)(3)

B.

(2)(4)(1)(3)

C.

(1)(4)(3)(2)

D.

(4)(2)(1)(3)

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4. 下列直线中不是曲线

y = \sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x})

的渐近线的是

A.

x = - \frac{1}{2}

B.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2 + 1

C.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2

D.

y = - 2 x \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 2 - 1

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5. 设

f (x)

满足

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + f (x) \sin 2 x} - 1}{e^{x^{2}} - 1} = 1

, 则

A.

f (0) = 0

B.

lim_{x \to 0} f (x) = 0

C.

f^{'} (0) = 1

D.

lim_{x \to 0} f^{'} (x) = 1

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6. 设

f^{'} (x_{0})

存在, 则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =

A.

f^{'} (x_{0})

B.

- f^{'} (x_{0})

C.

2 f^{'} (x_{0})

D.

不存在

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to 0} \frac{e^{(1 + x)^{\frac{1}{x}}} - (1 + x)^{\frac{e}{x}}}{x^{2}}

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8. 确定常数

b

, 使得直线

y = 9 x + b

为曲线

y = x^{3} - 3 x

的切线;

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9. 求函数

y = 2 x - \ln (4 x)^{2}

的单调递增区间为

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 设函数

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 且

f (0) = f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 1

. 设曲线

y = f (x)

在点

(x, f (x))

处的切线在

x

轴上的截距为

u (x)

, 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{f (u (x))}{f (x)}

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11. 计算函数

y = {(\frac{x}{1 + x})}^{x}

的一阶导数

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12. 设

f (x)

二阶可导,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

, 且

f (1) = 1

, 证明 : 存在

ξ \in (0, 1)

, 使得

f^{''} (ξ) - 2 f^{'} (ξ) = - 2 .

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13. 设

f (x)

有二阶连续导数, 在

x = 0

的去心邻域内

f (x) \neq 0, lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 0, lim_{x \to 0} {[1 + x + \frac{f (x)}{x}]}^{\frac{1}{x}} = e^{3}

,求

f^{''} (0)

及

lim_{x \to 0} {[1 + \frac{f (x)}{x}]}^{\frac{1}{x}}

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14. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \cdot \tan x})

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15. 对函数

e^{x^{2}}

在

[0, x] (x > 0)

上应用积分中值定理，有

\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t = x e^{θ (x) x^{2}}

其中

θ (x) \in (0, 1)

，计算

lim_{x \to + \infty} θ (x)

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16. 求极限

lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x^{2} - 3)}^{3} (3 x - 2)^{4}}{{(6 x^{2} + 7)}^{5}}

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17. 求极限

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - 8 x + 5} + 2 x + 1)

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18. 设函数

y = y (x)

由方程组

{\begin{matrix} e^{y} + t y = e \\ x = \ln (1 + \sin t) \end{matrix}

所确定, 求

\frac{d y}{d x}, {d y |}_{t = 0}

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19.

y = \arctan \frac{x + 1}{x - 1}

．

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20.

lim_{x \to 0} x^{2} e^{\frac{1}{x^{2}}}

;

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